Limites y continuidad: muestre que la función:

·

Sabemos que es la típica función que vale 0 en los racionales o irracionales y 1 en los otros. Pero tienes que decírnoslo con exactitud cuál es cuál, aunque da igual. Pero confirma el enunciado.

Es el típico problema ese, así que supongo que lo del cuadradillo es Q.

Es decir vale 1 en los números racionales 0 en los irracionales.

La función es discontinua en todo R porque tanto los racionales como los irracionales son conjuntos densos en R, en cualquier intervalo abierto que tomes de R hay números racionales e irracionales.

Vamos a suponer que existe límite en un punto xo cualquiera

Si acudes a la definición de límite en un punto xo, habrá un entorno

0<|x-xo|<delta

en el cual para todos los puntos cumplen

|f(x) - L| < epsilon

pero yo te voy a dar un epsilon = 0.25

Para los x racionales del entorno debería cumplirse

|1 - L| < 0.25

1-L < 0.25

y para los irracionales

|0 - L | < 0.25

L < 0.25

Si sumamos las dos desigualdades

1-L+L < 0.5

1<0.5

Absurdo, luego la hipótesis es falsa y no existe el límite en ningún punto, y por lo tanto no es continua en ningún punto.

Fijate que no salió bien la imagen y no se entiende el ejercicio :(

muchas gracias, disculpe y ahora si se percibe?