Que tal, ¿Cómo puedo demostrar el siguiente teorema sobre sucesiones?
$$\begin{align}&Sea \ \{r_k \} \ una \ sucesión\ de\ números \ reales\ positivos. Sea\ \{a_k \} \ una\ sucesión\ en\ R^n, x _o∈R^n \ tal que\ a_k∈ V_{rk} (x_0 ) \ apartir \ de\ una \ cierta \ k.\\& Demuestre\ que \ si\ \{r_k \} →0 ⟹ \{a ̅_k \} ⟶ x_o \end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Atom valenz!
Para demostrar que {ak} ---> xo tendremos que demostrar que para todo epsilon>0 existe un m € N tal que para todo n>m se cumple que los elementos de {an} están en el interior la bola de xo de radio epsilon.
Entonces dado epsilon > 0, como la sucesión {rk} tiende a cero existirá un m tal que rn < epsilon para todo n>=m
Y a partir de cierto elemento j de {ak} todos los elementos de la sucesión estáran en la bola de radio rm de xo
Como rm < epsilon, todos los elementos posteriores a aj estarán dentro de la bola de rado epsilon de xo. Luego la sucesión {aj} tiende a xo.
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Y eso es todo, si acaso donde digo bola de radio r de xo, tú ponlo con la notación Vr(xo).
