Dos ejemplos para el teorema del coseno

Leidy Munera!

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Como te decía en la pregunta del teorema del seno, estos dos teoremas sirven para cualquier triangulo. Para conocer los lados y ángulos de un triangúlo de cualquier tipo hace falta conocer al menos tres datos, en caso de conocer los tres ángulos hara falta otro más que es un lado.

Luego siempre hay que conocer al menos 1 lado y dos ángulos o 2 lados y un ángulo.

Si conocemos un lado y dos ángulos aplicaremos el teorema del seno, ya que aunque el lado no sea opuesto a uno de los ángulos podemos conocer el otro ángulo y ya tenemos una pareja de lado y ángulo opuesto que es lo que necesita el teorema del seno.

Solo hay un caso que no podemos resolver con el teorema del seno y es el de conocer dos lados y el angulo entre ellos, pero para ello está el teorema del coseno.

Luego el teorema del coseno sirve para calcular la longitud del lado opuesto a un ángulo conociendo este ángulo y la longitud de los dos lados adyacentes. Es una fgeneralización del teorema de Pitagoras, pero el teorema de Pitágoras solo sirve para triángulos rectángulos y este sirve para todos.

$$\begin{align}&c^2=a^2+b^2-2ab·\cos C\\&\\&\text{donde C es el ángulo entre a y b}\end{align}$$

Y como ejemplos uno sencillo:

Dos personas parten de un punto formando un ángulo de de 40º, la primera recorre 5km y la segunda 7km. ¿A qué distancia se encuentran?

La distancia sería el lado que le falta al triángulo de 5km y 7km sabiendo que el ángulo entre esos dos lados conocidos es de 40º.

Luego tenemos los datos necesarios para aplicar el teorema del coseno.

$$\begin{align}&c^2 = a^2+b^2-2ab·cosC\\&\\&c^2= 5^2+7^2-2·5·7·\cos 40º=\\&\\&35+49 -70·\cos 40º=\\&\\&84- 70·0.76604444=\\&\\&84-53.6231108 =30.3768892\\&\\&c=\sqrt{30.3768892}=5.511523\,km\end{align}$$

Y eso es todo, mándame si quieres una pregunta y hacemos uno completo en el que haya que usar los dos teoremas.