Limites y continuidad: Calcular el limite y discutir la continuidad de...
Mi maestra me dijo que para calcular el limite podría utilizar la regla de L´Hopital, ¿hay alguna otra manera, y sino como sería por la regla de L´Hopital]?)
1 Respuesta
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Para calcular este límite no se necesita la regla de l'Hôpital. Sin la regla de l'Hôpital es
$$\begin{align}&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{x-x_0}=\\&\\&\text{por el famoso producto notable}\\&\\&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{(\sqrt x+\sqrt{x_0})(\sqrt x -\sqrt{x_0})}=\\&\\&\lim_{x\to x_0} \frac{1}{\sqrt x+\sqrt{x_0}} =\\&\\&\frac {1}{\sqrt{x_0}}+ \frac{1}{\sqrt{x_0}}= \frac{2}{\sqrt{x_0}}\\&\\&\\&\\&\\&\text{y con la regla de l'Hopital se derivan por separado}\\&\text{numerador y denominador}\\&\\&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{x-x_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{2 \sqrt x}}{1}=\\&\\& \lim_{x\to x_0}\frac{1}{2 \sqrt x}=\frac{1}{2 \sqrt x_0}\\&\\&\end{align}$$
¡Muchas Gracias! Tomare en cuenta la primer solución
Hola, disculpe la molestia de nuevo, mi maestra me dice que falta complementar la resolución del ejercicio, la verdad es que no entiendo que es lo que falte resolver o a que se refiere, ¿usted puede ayudarme?
¡Ay! Que me equivoqué al final del límite por el método normal, en vez de hacer la raya larga hice dos cortas.
El límite normal completo es este:
$$\begin{align}&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{x-x_0}=\\&\\&\text{por el famoso producto notable}\\&\\&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{(\sqrt x+\sqrt{x_0})(\sqrt x -\sqrt{x_0})}=\\&\\&\lim_{x\to x_0} \frac{1}{\sqrt x+\sqrt{x_0}} =\\&\\&\frac {1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}= \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\end{align}$$Y estaba tan convencido que lo tenía bien que pensaba que lo que fallaba era la regla de l'Hôpital, pero no, había fallado yo, ahora ya está bien. Supongo que era eso lo que decía la maestra. Debéis revisar lo que hago, puedo equivocarme, a veces estoy con mucho trabajo, algo de sueño y me puedo despistar.
