Calcula la integral definida (e^6x+ln x)dx en el intervalo de 0 a 2

Fred Ro!

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Es bastante molesto trabajar con los límites cuando se está integrando por partes. Bueno, lo molesto es hacerlo con rigor para que el que no lo ve tenga una cadena limpia de igualdades, mientras que si lo haces para ti mismo no tienes porque escribirlo todo bien y no resulta molesto. Luego haré primero la indefiunida y luego evaluamos.

$$\begin{align}&\int (e^{6x}+ln(x))dx=\\&\\&\frac 16e^{6x}+\int ln x\;dx=\\&\\&u = lnx\quad du=\frac{dx}{x}\\&dv =dx\quad v=x\\&\\&=\frac 16 e^{6x}+x·lnx-\int dx=\\&\\&\frac 16 e^{6x}+x·lnx-x \\&\\&\text {evaluando entre 0 y 2}\\&\\&\left.  \frac 16 e^{6x}+x·lnx-x \right|_0^2=\\&\\&\frac{1}{6}e^{12}+2·ln2-2-\frac 16- ???+0=\\&\\&\frac{1}{6}e^{12}+2·ln2-\frac {13}{6}-???= \\&\\&27125.0182-???\end{align}$$

Hemos dejado unos interrogantes correspondientes a x·ln(x) cuando x=0

Esa operación no está definida y se tiene que calcular el límite cuando x tiende a 0 por la derecha. Lo que pasa es que ese límite no es muy inmediato. Si has dado la regla de l'Hôpital es

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0+} x·lnx=\\&\\&\lim_{x\to 0^+}\frac{lnx}{\frac 1x}= \frac{-\infty}{\infty}\\&\\&\text{Aplicamos la regla derivando numerador y denominador}\\&\\&=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac 1x}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}-\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0^+}-x=0\end{align}$$

Luego ese interrogante tiene valor 0 y la integral es la que ponía.