Como hago para demostrar por el teorema de compresiòn que el lim x---0 de x^2 cos(2pix) = 0 ?
Se que se trata del teorema del "emparedado", pero no tengo ni idea de como demostrar con esta funciòn, ¿me explican?
1 Respuesta
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El teorema del emparedado dice que dadas tres funciones que cumplen:
$$\begin{align}&f(x) \le g(x) \le h(x) \text{ en un entorno de } x_0, \text{ entonces}\\&\\&si\; \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=L\implies \lim_{x\to x_0}g(x)=L\\&\\&\text{ya que } -1\le \cos 2\pi x\le 1 \quad \forall x\\&\text{multiplicaremos por }x^2 \text{ y tomaremos las funciones}\\&\\&-x^2\le x^2 \cos(2\pi x)\le x^2\\&\\&\lim _{x\to 0}-x^2= \lim_{x\to 0} x^2=0\\&\\&\text{luego por el teorema}\\&\\&\lim_{x\to 0} \cos 2\pi x=0\end{align}$$·
Y eso es todo.
Muchas gracias, pero tengo una duda :¿Por qué multiplicamos todo por x^2?
¿Por qué multiplicamos todo por x^2?
En una desigualdad si multiplicas los dos lados de la desigualdad por una cantidad positiva la desigualdad de mantiene, por lo tanto se puede multiplicar por x^2.
¿Que por qué? Pues porque nos conviene. Por qué para racionalizar un denominador multiplicamos y dividimos por él, porque es algo que se puede hacer y nos resuelve el problema. Pues aquí lo mismo, multiplicamos por x^2 porque se puede hacer y porque nos resuelve el problema. Es como un truquillo que se aprende porque lo has visto hacer o porque se te ocurre a ti.
