Como graficar x + (4x-8 / x^2-4), sin tabular.

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Esta vez ya sabemos un poco más que antes. La otra vez solo me di cuenta de la asíntota oblicua cuando dibujé la función, ahora ya estoy atento para verlas antes de dibujar.

Y aquí acabo de verla porque

lim x-->oo de (4x-8) / (x^2-4) = 0

con lo cual la función en los infinitos tiende a ser

y=x

Y esa recta es la asíntota.

Por cierto, escribes mal los parentesisi de los cocientes, lo importante es que si hay un numerador o denominador con más de un término este encerrado entre paréntesis para que se conozca su longitud.

Lo que has escrito en realidad debería interpretarse asi

x + (4x-8 / x^2-4) = x + 4x - (8/x^2) - 4

Pero como yo ya conozco este problema que tenéis lo corrijo. No hará lo mismo el ordenador cuando le metáis esa expresión para calcular o dibujar una gráfica, por eso conviene aprender.

Y aparte de esa asíntota oblicua vamos a tener las típicas asíntotas verticales cuando

x^2-4 = 0

es decir en x=-2 y x=2

Convendria saber hacía que infinito tienden, para eso veamos el signo del numerador

En x=-2...

Vale, ahora que miro el numerador, que no lo habia mirado aun, veo que en x=2 se hace 0, lo mismo que el denominador. ¿Qué quiere decir eso? Pues que se puede simplificar por (x-2) así que antes de seguir simplificaremos la función

$$\begin{align}&y = x+\frac{4x-8}{x^2-4}=\\&\\&x+\frac{4(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&\\&y = x + \frac{4}{x+2}\end{align}$$

Y así va a ser todo mucho más sencillo.  De momento ha desaparecido la asíntota vertical en x=2, solo la hay en -2

Y el numerador es 4 es positivo, y el denominador por la izquierda de -2 será negativo luego tendera a -infinito. Y por la derecha el denominador será positivo y tenderá a +infinito.

Y vamos a calcular también los cortes con los ejes

$$\begin{align}&y = x + \frac{4}{x+2}=\frac{x^2+2x+4}{x+2}\end{align}$$

Ese numerador no corta nunca a los ejes es siempre positivo puedes comprobar que si intentas resolver la ecuación de segundo grado te dará números complejos.

Y el corte con el eje y será

y = 0 + 4/(0+2) = 2

Esta vez hay menos datos que la anterior pero vamos a intentarlo.

Sabemos que:

1) La recta y=x es asíntota oblicua

2) La recta x=-2 es asíntota vertical y por la izquierda tiende a -infinito y por la derecha a infinito

3) No corta nunca al eje X

4) Corta al eje Y en (0,2)

Bueno, con esos datos había bastante para bosquejar.

Y eso es todo.