Ejercicio sobre oferta y demanda, buscar el excedente

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Hace algunos años llegaba alguna pregunta de estas. Entonces primero les cascaba este rollo:

El excedente del consumidor es el dinero que se han ahorrado los consumidores por la competencia del mercado y el del productor el que ha ganado el productor por eso mismo.
¿Cómo pueden ganar los dos te preguntarás?
Porque el consumidor podría haber pagado un precio más alto del que finalmente paga y porque el productor también podría haber tenido que vender a menos precio. Las ganancias se miden respecto al precio de equilibrio y en la gráfica de las funciones es el área comprendida entre las respectivas funciones y la recta horizontal dada por el precio de equilibrio. El excedente del consumidor es un área por encima de la recta y el del productor por debajo.
Cuando las funciones son complicadas se tiene que usar el calculo integral, mientras que si son rectas se puede calcular también por geometría.

Llamaremos (po, qo) al punto de equilibrio. Estas son las fórmulas de los excedentes del productor (ep) y del consumidor (ec)

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\& \\& \\& ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\& \\& \\& \text {que son equivalentes a estas: }\\& \\& \\& ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\& \\& \\& ec = -p_0q_0 +\int_0^{q_0}d(q)dq\end{align}$$

Y después los calculaba, porque siempre pedían calcular los dos-  En tu caso solo hay que calcular uno.

Primero hallaremos el punto de equilibrio que es la intersección de las curvas de oferta y demanda.

(x-4)^2 = x^2 +2x+6

x^2 - 8x + 16 = x^2 + 2x + 6

-10x = -10

x=1.

D(1) = (1-4)^2 = 9

Luego el punto de equilibrio es

(po,qo) = (1, 9)

Vamos a hacer el cálculo correspondiente (ec):

$$\begin{align}& ec = -p_0q_0 +\int_0^{q_0}d(q)dq\\&\\&ec= -1·9+\int_0^{1}(q-4)^2dq=\\&\\&-9+\left[\frac{(q-4)^3}{3}  \right]_0^{1}=\\&\\&-9+\frac{(-3)^3}{3}-\frac{(-4)^3}{3}=\\&\\&-9 -9+\frac{64}3= \frac{-18·3+64}{3}=\\&\\&\frac{10}{3}=3.333...\end{align}$$

Y como creo que te he dicho a ti y otros, el excedente del consumidor no depende de que la venta sea de 1, 2 o cualquier cantidad de artículos, se forma con el ahorro que han tenido hasta el punto de equilibrio.  Luego la postilla de "cuando la venta es de un artículo" no sirve para nada.