No entiendo como realizar este problema matemático derivadas calculo intergral

El excedente del consumidor es la diferencia entre el precio que estaría dispuesto a pagar un consumidor por un producto y el que realmente paga. En la gráfica es el área de la zona por debajo de la curva de la demanda y por encima de la linea horizontal que pasa por el punto de equilibrio. Todo ello entre las abscisas cero y la del punto de equilibrio Si la ecuación de la demanda fuese lineal sería un triángulo y se calcularía fácilmente, pero si es una curva "rara" debe calcularse mediante una integral.

El excedente del productor es la diferencia entre el precio del mercado, y el precio al que el productor estaría dispuesto a ofrecer el producto. En la gráfica es el área entre la ecuación de la oferta y la linea horizontal pasando por el punto de equilibrio. Todo ello entre las abscisas cero y la del punto de equilibrio. Igual que decía antes, si la ecuación de la oferta es lineal es un triángulo fácil de calcular, pero si no hay que usar integrales.

Y estas son las integrales:

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\text {o estas que son lo mismo: }\\ &\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &\\ &ec = -p_0q_0+\int_0^{q_0}d(q)dq -p_0q_0\end{align}$$

d(q) es la función de la demanda

f(q) la de la oferta

(Q0, p0) el punto de equilibrio

Para usar la misma notación notación de estas integrales vamos a sustituir la x por q

d(q) = sqrt(49-6q)

f(q) = q+1

Sqrt es lo que se utiliza internacionalmente en todo tipo de lenguaje o programa informático para expresar la raíz cuadrada

Calculamos primero el punto de equilibrio

$$\begin{align}&\sqrt{49-6q} = q+1\\ &\\ &49-6q = (q+1)^2\\ &\\ &49-6q = q^2 + 2q +1\\ &\\ &q^2 + 8q - 48 = 0\\ &\\ &\text{Resolvemos la ecuación de grado 2}\\ &\\ &q = \frac{-8 \pm \sqrt{64+192}}{2} =\\ &\\ &q = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} =\\ &\\ &(-8 \pm 16) / 2 =\\ &\\ &\text {-12 y 4}\\ &\\ &\text {Solo la positiva nos sirve, luego}\\ &\\ &q_0 = 4\\ &\\ &p_0 = q_0+1 = 5\end{align}$$

Y ahora haremos las integrales

$$\begin{align}&ec = -4·5+\int_0^4 \sqrt{49-6q}·dq =\\ &\\ &\\ &-20-\frac{2}{3}\frac{1}{6} \left [ (49-6q)^{3/2} \right ]_0^4=\\ &\\ &\\ &-20-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2})=\\ &\\ &\\ &-20-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2}) =\\ &\\ &\\ &-20+\frac{218}{9}=4.222...\end{align}$$

$$\begin{align}&ep=4·5 -\int_0^4(q+1)dq =\\ &\\ &\\ &20-\left[ \frac{q^2}{q}+q\right ]_0^4 =\\ &\\ &\\ &20-\frac{4^2}{2}+4-0-0= 20-8-4= 8\end{align}$$

Luego el excedente del consumidor es 4.222... y el excedente del productor es 8.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no entendiste algo pregúntamelo y si ya está bien no olvides puntuar.