Como hallar el valor de una derivada

Planteas el valor de la función cuando tendés a x=3 por la izquierda y por la derecha.

Vimiemdo por izquierda...la funcion tenderia a: x2-4x+8....9-12+8 = 5,

Viniendo por derecha ...la funcion tenderia a = 3a+b

Para cumplir la condicion de continuidad debera ser..... 3a+b=5

Planteando las derivadas f'(3) por la izquierda = 2x-4 =2

Por la derecha f'(3) = a ........no es funcion de x.......

Luego la condicion pedida sera;  a=2 ........b=2x3 + b=5 .....b=-1

·

Para que exista derivada en un punto deben coincidir la derivada izquierda y la derecha.

Por la izquierda tendremos

f'(x-) = 2x-4

y por la derecha

f'(x+) =a

Calculadas en el punto x=3

f'(3-)= 2·3-4 = 2

f'(3+) = a

Luego lo primero que debe cumplir es a=2

Y la segunda condición surge de que una función derivable es continua, si no la aplicaramos prodríamos conseguir curvas con la misma pendiente a izquierda y derecha pero a distinta altura, por lo tanto debe cumplirse que los límites de f(x) por la izquierda y derecha coincidan

lim x-->3- f(x) = 3^2 - 4·3 +8 = 5

lim x-->3+ f(x) = ax+b = 3a+b = 3·2+b = 6+b

Para que coincidan

6+b=5

b=-1

Luego los valores que piden son

a=2

b=-1

y función por la derecha será

f(x) = 2x - 1  si x>3