Calcule las siguientes integrales: f) ∫_2^6▒x/√(5x^2+1) dx, g) ∫_0^2▒3^(1-x) dx, h) ∫_(-4)^0▒1/(x+5) dx
Se que no se deben de hacer más de una pregunta a la vez pero me quedo sin tiempo ojala me pueda ayudar como en ocasiones anteriores.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Ana Patricia!
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Tenemos establecido responder un máximo de 2 derivadas o integrales de dificultad media-baja por pregunta, constestaré las dos primeras.
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La primera es definida y se resuelve por cambio de variable y cambio simultáneo de límites de integración para no tener que deshacerlo en el momento de evaluar el resultado.
La segunda es una integral que calcularemos directamente, multiplicando el integrando por constantes para que sea una derivada perfecta, y dividiendo fuera por lo mismo para que no se altere nada.
$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x\,dx}{\sqrt{5x^2+1}} =\\&\\&t=5x^2+1\\&dt=10x\,dx\implies x\,dx=\frac{1}{10}dt\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\left.\frac 1{10} \frac{t^{\frac 12}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left.\frac{\sqrt t}{5}\right|_{21}^{181}=\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\\&\\&\\&----------------\\&\\&\\&\int_0^23^{1-x}dx=\frac{-1}{ln\,3}\int_0^2-3^{1-x}ln\,3\;dx=\\&\\&\left. -\frac{1}{ln3}3^{1-x} \right|_0^2=-\frac{1}{ln\,3}(3^{-1}-3^1)=\\&\\&-\frac{1}{ln\,3}\left(\frac 13-3 \right)=-\frac{1}{ln\,3}\left(-\frac 83 \right)=\frac{8}{3\,ln\,3}\end{align}$$
