Como demuestro por derivación implícita
a) x=r cos θ, y=sen θ, (i) entonces
∂r/∂x = cos θ, ∂r/∂y = sen θ, ∂θ/∂x = -sen θ/r , ∂θ/∂y = cos θ/r ,
b) Emplear los resultados de la parte (a) para demostrar que si w = f(r, θ), entonces
∂w/∂x = ∂w/∂r cos θ - ∂w/∂θ senθ/r,
∂w/∂y = ∂w/∂r sen θ + ∂w/∂θ cosθ/r,
c) Demostrar que
∂^2w/∂x^2 + ∂^2w/∂y^2 = ∂^2w/∂r^2 + 1/r ∂w/∂r + 1/r^2 ∂^2w/∂θ^2
Este calculo es mucho mas facil que despejar a r=(x^2 + y^2)^1/2
y a θ = arc tan (y/x) de las ecuaciones (i) para despues calcular Wxx + Wyy.
2 Respuestas
El primer apartado dice
a) Emplear la derivación implícita para demostrar que si
x=r cos θ, y= r sen θ,
$$\begin{align}& \end{align}$$Si, eso suponía pero lo que pone es falso, voy a poner las derivadas verdaderas porque no han acertado ninguna.
$$\begin{align}&a)\\&\\&\frac{\partial x} {\partial r}=\cos\theta\implies \frac{\partial r} {\partial x}=\frac{1}{\cos\theta}\\&\\& \frac{\partial y} {\partial r}=sen\,\theta\implies \frac{\partial r} {\partial y}=\frac{1}{sen\,\theta}\\&\\&\frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\;sen\, \theta\implies \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{1}{r\;sen\, \theta}\\&\\&\frac{\partial y}{\partial \theta}=r\,\cos \theta\implies \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{1}{r\;\cos \theta}\\&\\&\\&\\&b)\\&\\&\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{1}{\cos \theta}\\&\\&\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial y}=-\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{1}{sen \theta}\\&\\&\\&c)\\&\\&\frac{\partial ^2w}{\partial x^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{1}{\cos \theta}\right)}{\partial x}=\frac{\partial \left(\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{1}{\cos \theta}\right)}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial x}=\\&\\&\left(\frac{\partial ^2w}{\partial r^2}·\frac{1}{\cos\theta}+\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{sen\, \theta}{\cos^2 \theta}·\frac{\partial\theta}{\partial r}\right)·\frac{1}{\cos \theta}\\&\\&\\&\\&\frac{\partial ^2w}{\partial y^2}=\frac{\partial \left(\frac{-\partial w}{\partial r}·\frac{1}{sen \theta}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(\frac{-\partial w}{\partial r}·\frac{1}{sen \theta}\right)}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial y}=\\&\\&\left(\frac{-\partial ^2w}{\partial r^2}·\frac{1}{sen\theta}-\frac{\partial w}{\partial r}·\frac{-\cos\, \theta}{sen^2 \theta}·\frac{\partial\theta}{\partial r}\right)·\frac{1}{sen \theta}\\&\end{align}$$Y voy a dejarlo aquí porque la suma no se va a parecer nada a lo que dicen. Yo no sé de dónde han podido sacar este ejercicio tan mal y tan malo.
Coincido con el profe Valero, en el primer apartado, la escritura correcta debería ser:
x=r cos θ, y=r sen θ
Que es la transformación que hay que hacer para pasar de coordenadas cartesianas a polares y a partir de allí se podría llegar a deducir algo.
Revisa los apuntes para ver exactamente que te están pidiendo.
El primer apartado dice
a) Emplear la derivación implícita para demostrar que si
x=r cos θ, y= r sen θ,
Espero que me pueda ayudar se lo agradecería
Es que no lo seguí porque la respuesta del profe Valero es impecable y la verdad que no tengo mucho para agregar que no sea "ensuciar" su respuesta. Lo único que te puedo agregar es que parecería ser la demostración del cambio de variables para pasar de coordenadas cartesianas a polares, pero que escribieron algo mal.