Área de un casquete esferico
Tengo el siguiente ejercicio, no se por donde empezar, me dijeron que había que usar coordenadas esféricas y polares también pero no se porque, explicame, me ayudaría mucho un dibujo de la situación.
1 Respuesta
El área de una superficie limitada por un contorno se calcula con las llamadas integrales de superficie.
Sea z=S(x, y) la función de la superficie, los puntos son (x, y, S(x, y))
Se calculan los vectores tangentes respecto de x e y
(1, 0, Sx(x,y))
(0, 1, Sy(x,y))
se hace el producto escalar
(-Sx(x,y), -Sy(x,y), 1)
y se integra la norma de este vector
$$Area=\iint_D \sqrt{[S_x(x,y)]^2+[S_y(x,y)]^2+1}dydx$$La ecuación de la esfera es x^2+y^2+z^2=a^2
z = S(x,y) = sqrt (a^2-x^2-y^2)
Sx(x,y) = -x/sqrt(a^2-x^2-y^2)
Sy(x,y) = -y/sqrt(a^2-x^2-y^2)
la integral será la de
$$\begin{align}&Area=\iint_D \sqrt{\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}+1}\;dydx=\\ &\\ &\iint_D \sqrt{\frac{x^2+y^2+a^2-x^2-y^2}{x^2+y^2}}\;dydx=\\ &\\ &\iint_D \frac{a}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$El dominio es un círculo cuyo radio depende del ángulo esférico que abrimos, para fi=0 el dominio es nulo. Por las cuentas que hecho llaman fi la mitad del ángulo del sector esférico que se abre. Asi cuando fi = Pi/2 se ha abierto en realidad el doble Pi=180º grados y el área sería la mitad de la esfera, comprobamos que la fórmula coincide con la mitad del área real
Área = 2Pi·a^2[1-cos(pi/2)]=2Pi·a^2
efectivamente, ya que el área total es 4Pi·a^2
Luego el dominio que corresponde a un ángulo fi es un círculo cuyo radio es
r=a·sen(fi)
y entonces el dominio es
x€[-a·sen(fi), a·sen(fi)]
y€[-sqrt(a^2·sen^2(fi)-x^2) , sqrt(a^2·sen^2(fi)-x^2)]
$$\begin{align}&Area=\int_{-asen \phi}^{asen \phi}\int _{-\sqrt{a^2sen^2\phi-x^2}}^{\sqrt{a^2sen^2\phi-x^2}}\frac{a}{\sqrt{x^2+y^2}}dydx=\\ &\\ &\\ &\text{hacemos el cambio de variable a polares}\\ &x= \rho \cos\theta\quad y=\rho sen\theta\\ &Jacobiano = \rho\\ &\\ &\int_0^{a·sen\phi}\int_0^{2\pi} \frac{a}{\rho}\rho \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_0^{a·sen\phi}\int_0^{2\pi} a \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &a\int_0^{a·sen\phi}2\pi d\rho=\\ &\\ &2\pi a\int_0^{a·sen\phi} d\rho=\\ &\\ &2\pi a^2 sen\phi\\ &\end{align}$$Algo habré hecho mal, tendré que repasarlo. Pero ahora no puedo, tendrán que pasar unas horas. Para que no se pierde el trabajo te mando lo que he hecho.
Pues tuve enseguida el fallo, el denominador con la raíz cuadrada lo cambié por otro que no tenía nada que ver, tuve un despiste gordo. Esta es la resolución buena
$$\begin{align}&Area=\iint_D \sqrt{\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}+1}\;dydx=\\ &\\ &\iint_D \sqrt{\frac{x^2+y^2+a^2-x^2-y^2}{a^2-x^2-y^2}}\;dydx=\\ &\\ &\iint_D \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y después sería asi
$$\begin{align}&Area=\int_{-asen \phi}^{asen \phi}\int _{-\sqrt{a^2sen^2\phi-x^2}}^{\sqrt{a^2sen^2\phi-x^2}}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dydx=\\ &\\ &\\ &\text{hacemos el cambio de variable a polares}\\ &\\ &x= \rho \cos\theta\quad y=\rho sen\theta\\ &\\ &Jacobiano = \rho\\ &\\ &\int_0^{a·sen\phi}\int_0^{2\pi} \frac{a}{\sqrt{a^2-\rho^2}}\rho \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &a\int_0^{a·sen\phi}\frac{\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}}\left[\theta\right]_0^{2\pi} \, d\rho=\\ &\\ &2\pi a\int_0^{a·sen\phi}\frac{\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}} d\rho=\\ &\\ &2\pi a\left[-\sqrt{a^2-\rho^2} \right]_0^{asen\phi}=\\ &\\ &2\pi a\left(-\sqrt{a^2-a^2sen^2\phi}+\sqrt{a^2}\right)\\ &\\ &2\pi a^2\left(1-\sqrt{1-sen^2\phi}\right)=\\ &\\ &2\pi a^2(1-\cos\phi)\end{align}$$Ahora ya está bien.
De todas formas lo he hecho así por el método general porque hablabas de coordenadas esféricas, polares, etc.
Pero para las superficies de revolución existe un método más fácil que se hace en coordenadas cartesianas.
Si quieres que lo haga mándame otra pregunta preguntando por ese método, que esta pregunta ya la he sudado bastante.
