¿Cómo se resuelven los siguientes ejercicios?

B) La circunferencia sería el doble del radio multiplicado por Pi.
C = 90 x 2 x 3.141592 = 565.4866 cm
C = 5.655 m
Distancia = perímetro por 100
5.65486 x 100 = 565.48 m

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1)

Si barriese 360º barrería todo el circulo de radio 8 millas cuya área es

A = Pi·r^2 = Pi·8^2 = 64Pi

Pero como solo barre 128º barrerá la parte proporcional

$$\begin{align}&\frac{128}{360}·64\pi=22.7555\pi=\\&\\&71.48868616 \;millas^2\end{align}$$

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2)

Recorrerá 100 veces la longitud de la rueda que es una circunferencia.

$$\begin{align}&d=100·2\pi r=100·2\pi·90=18000\pi =\\&\\&56548.66776 \;cm= 565.4866776\;m\\&\\&\end{align}$$

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3)

Supondré que la varilla va a parar al centro del hule. Entonces a cada lado del extremo de la varilla habrá la mitad del hule que es

23/2 = 11.5 cm

Entonces la circunferencia exterior tendrá

30 + 11.5 = 41.5 cm

y la interior

30 - 11.5 = 18.5 cm

El aréa comprendida entre los dos círculos será

$$\begin{align}&\pi·41.5^2-\pi·18.5^2=\\&\\&\pi(1722.25 - 342.25) = 1380\pi\\&\\&\text{Pero solo barre 100º de los 360º, luego}\\&\\&A= \frac{100}{360}·1380\pi=383.333333\pi=\\&\\&1204.277184\;cm^2\end{align}$$

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar. Busca la puntuación excelente que hay gente que no la ve.

Para realizar ejercicios de este tipo podría serte útil la fórmula de área de sector circular:

$$\begin{align}&A=\frac{\pi r^2 \alpha}{360°}\end{align}$$

donde alfa representa el ángulo del sector y r es el radio de la circunferencia.

Así en el inciso a tienes que para un radio de 8 millas y un ángulo de 128° tienes que el área será:

$$\begin{align}&a={\frac{\pi(8)^2 128°}{360°}}=\frac{2048}{65}\pi\ millas^2\end{align}$$