¿Como se resuelven estos problemas de calculo?
- Sin integrar, explica por qué
$$\begin{align}&∫_(-2)^2x(x^2+1)^2dx=0\end{align}$$
- Suministro de agua. Un ingeniero hidráulico diseñó una estación de bombeo, cuyo modelo es:
$$\begin{align}&R(t)=50+7sen(πt/6+3.6)+9 \cos(πt/12+8.9)\end{align}$$
$$\begin{align}&Donde 0≤t≤24.R es la tasa de flujo en miles de litros por hora y t es el tiempo en horas. \end{align}$$Aproximar el volumen total del agua bombeada en un día (es decir, de 0 a 24 horas). (Incluye y explica con tus propias palabras el desarrollo completo de la solución, esto es: plantea la integral definida apropiada, presenta su desarrollo y aplica el teorema fundamental del cálculo para estimar el área bajo la curva que representa el flujo solicitado).
Utiliza Wolfram alpha para comprobar tu resultado. Incluye la gráfica que obtienes que representa la función y señala en que momento la tasa de flujo es máxima.
2 Respuestas
En la 1 se cumple que la integral es igual a cero porque la función es impar, o sea se cumple que f (-x)=-f(x) esto quiere decir que es simétrica con respecto al origen entonces se cumple que Integral [0,2]=-integral [-2,0]=z, por lo tanto al hacer la integral [-2,2]=integral [-2,0]+integral [0,2]=z-z=0. Y eso es todo.
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Deberías aprender como escribir bien las integrales. Lo que creo que quieres poner se escribiría.
\int_{-2}^2 x(x^2+1) dx
Si, la respuesta es porque es una función impar (simétrica respecto del origen) e intuitivamente ves que lo que en una esté por arriba del eje X en la otra lo estará por debajo y viceversa. Pero las demostraciones en cálculo deben ser rigurosas, luego voy a hacer alguna operación pero sin llegar a calcular la integral.
$$\begin{align}&\int_{-2}^2 x(x^2+1) dx=\\&\\&\int_{-2}^0 x(x^2+1)dx+\int_0^{2} x(x^2+1)dx=\\&\\&\text{si en la primera hago el cambio de variable}\\&\\&u=-x\\&du=-dx\\&x=-2\implies u=2\\&x=0 \implies u=0\\&\\&=\int_2^0-u((-u)^2+1)(-du)+\int_0^{2} x(x^2+1)dx=\\&\\&\int_2^0 u(u^2+1)du+\int_0^{2} x(x^2+1)dx=\\&\\&\text{Si intercambio los límites cambia de signo}\\&\\&-\int_0^2 u(u^2+1)du+\int_0^{2} x(x^2+1)dx=\\&\\&\text{las dos integrales son la misma, luego llamándolas I}\\&\\&-I + I = 0\end{align}$$Mejor hubiera sido hacerlo sobre una fúnción impar genérica para así no tocar la original. Vamos a demostrar que cualquier función impar integrable en [-a, a] integrada entre -a y a tiene integral 0
Sea f(x) tal que f(x)=-f(x)
$$\begin{align}&\int_{-a}^a f(x)dx=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx=\\&\\&u=-x\\&du = -dx\\&x=-a\implies u=a\\&x=0\implies u=0\\&\\&=\int_a^0f(-u)(-du)+\int_0^af(x)dx=\\&\\&-\int_a^0f(-u)du+\int_0^af(x)dx=\\&\\&\text {Intercambiando los límites de }\\&\text{integración cambia el signo}\\&\\&=\int_0^af(-u)du+\int_0^af(x)dx=\\&\\&\text{Y por ser impar} f(-u)=-f(u)\\&\\&=-\int_0^af(u)du+\int_0^af(x)dx= -I+I=0\end{align}$$Y eso es todo.