Como realizo esta ecuación laplace en coordenadas polares

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El segundo término dice que es la derivada parcial respecto de y, pero las variables de la función u son r y theta, no puede ser.

Hay que verificar que u(r,θ)=r^n sen n θ, donde n es una constante, satisface esta ecuación

No aclaras lo que te preguntaba o a lo mejor es que no ha salido algo. Te digo que el término

$$\begin{align}&r \frac{\partial u}{\partial y}\end{align}$$

no tiene sentido, tiene que ser una derivada parcial respecto de r o de theta.

Mira a ver si está bien el enunciado. Y si está así, pues ya intentaré averiguar cuál de las dos derivadas parciales hace que se cumpla la ecuación.

En el libro de leithold a parecen los tres términos r2, r, r, respectivamente mi profesor decía que el tercer termino no lleva r por eso no lo puse

No entiendes lo que te quiero decir. Por favor, mándame el enlace al libro o el escaneo de la página del ejercicio.

es del libro del libro de calculo de leithold

Es lo que te decía, que la parcial del segundo sumando es respecto de r y no respecto de y. Ahora ya se puede hacer. Probaré sin la r que dices

$$\begin{align}&u(r,\theta)=r^nsen\, n\theta\\&\\&r^2 \frac{\partial^2u}{\partial r^2}+r \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial ^2u}{\partial \theta^2}=\\&\\&r^2·\frac{\partial }{\partial r}\left(nr^{n-1}sen\,n\theta  \right)+r·nr^{n-1}sen\,n\theta+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(  r^n \cos n\theta·n\right)=\\&\\&r^2·n(n-1)r^{n-2}sen{} \,n\theta +nr^n sen \,n\theta+nr^n(-sen\,n\theta)·n=\\&\\&n^2r^nsen\,n\theta-nr^nsen\,n\theta+nr^nsen\,n\theta-n^2r^nsen\,n\theta =0\end{align}$$

Luego es verdad que se cumple.

Y eso es todo.

¡Gracias! por tener un poco de paciencia

Me podría explicar un poco de teoría sobre este ejercicio