Oigan, ¿Como resolverían este problema de Dinámica?

Hogla Herrera Bernardo!

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Para calcular la derivada debemos transformar la función en forma polar a paramétrica

$$\begin{align}&\text{Dada una función en forma polar }\rho(\theta)\\ &   \\ &   \text{Sus coordenadas cartesianas son}\\ &   x(\theta)=\rho(\theta)\cos\theta\\ &   y(\theta)=\rho(\theta)sen(\theta)\\ &   \\ &   \text{Luego la función será}\\ &   \\ &   x(\theta) =Ae^{k\theta}\cos \theta\\ &   y(\theta)=Ae^{k\theta}sen\theta\\ &   \\ &   \text {a)  La derivada es}\\ &   \\ &   x'(\theta)=Ake^{k\theta}\cos \theta-Ae^{k\theta}sen\theta=Ae^{k\theta}(kcos\theta-sen\theta)\\ &   y'(\theta)=Ake^{k\theta}sen\theta+Ae^{k\theta}\cos\theta=Ae^{k\theta}(ksen\theta+\cos\theta)\\ &   \\ &   \text{El módulo del vector derivada es}\\ &   \\ &   \left|(x'(\theta),y'(\theta))\right|=Ae^{k\theta}\sqrt{(kcos\theta-sen\theta)^2+(ksen\theta+\cos\theta)^2}=\\ &   \\ &   Ae^{k\theta}\sqrt{k^2cos^2\theta+sen^2\theta-2kcos\theta sen\theta+k^2sen^2\theta +\cos^2\theta+2kcos\theta \cos\theta}=\\ &   \\ &   Ae^{k\theta}\sqrt{k^2cos^2\theta+sen^2\theta+k^2sen^2\theta +\cos^2\theta}=\\ &   \\ &   Ae^{k\theta}\sqrt{k^2+1}\\ &   \\ &   \text{El vector velocidad unitario es}\\ &   \\ &   v_u(\theta)=\frac{1}{Ae^{k\theta}\sqrt{k^2+1}}·Ae^{k\theta}(kcos\theta-sen\theta,ksen\theta+\cos\theta)=\\ &   \\ &   \frac{1}{\sqrt{k^2+1}}(kcos\theta-sen\theta,\;ksen\theta+\cos\theta)\\ &   \\ &   \text{Como nos dicen que la velocidad es Vo constante}\\ &   \\ &   v(\theta)=\frac{V_0}{\sqrt{k^2+1}}(kcos\theta-sen\theta,\;ksen\theta+\cos\theta)\\ &   \end{align}$$

b)

Y una vez obtenido el vector velociadad es fácil obtener el de aceleración derivándolo

$$\begin{align}&a(\theta)=v'(t)=\frac{V_0}{\sqrt{k^2+1}}(-ksen\theta-\cos\theta,\;kcos\theta-sen\theta)\end{align}$$

c)
Hacemos el producto vectorial y si es cero serán perpendiculares

$$\begin{align}&v(\theta)*a(\theta)=\frac{1}{k^2+1}\left((kcos\theta-sen\theta)(-ksen\theta-\cos\theta)+(ksen\theta+\cos\theta)(kcos\theta-sen\theta)  \right)=\\ &\\ &\frac{1}{k^2+1}((kcos\theta-sen\theta)(-ksen\theta-\cos\theta+ksen\theta+\cos\theta)=\\ &\\ &\frac{1}{k^2+1}((kcos\theta-sen\theta)·0) = \frac{1}{k^2+1}·0 = 0\end{align}$$

Luego son perpendiculares.

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d)

La longitud del arco entre el ángulo 0 y otro alfa de una curva dada en forma polar es

$$\begin{align}&s(\alpha)=\int_0^{\alpha}\sqrt{[\rho(\theta)]^2+[\rho'(\theta)]^2}\;d\theta\\ &\\ &\text{En nuestra función}\\ &\\ &s(\alpha)=\int_0^{\alpha}\sqrt{A^2e^{2k\theta}+A^2k^2e^{2k\theta}}\;d\theta=\\ &\\ &\int_0^{\alpha}Ae^{k\theta}\sqrt{1+k^2}\;d\theta=\\ &\\ &\left.\frac{A \sqrt{1+k^2}}{k}e^{k\theta}\right|_0^{\alpha}=\\ &\\ &\frac{A \sqrt{1+k^2}\;(e^{k\alpha}-1)}{k}\end{align}$$

En el instante t el espacio recorrido es
s= Vo·t

por llevar velocidad constante.

Luego volviendo a usar el nombre de variable theta e igualando tenemos

$$\begin{align}& \frac{A \sqrt{1+k^2}\;(e^{k\theta}-1)}{k}=V_0t\\ &   \\ &   e^{k\theta}-1 = \frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}\\ &  \\ &  e^{k\theta} = 1+\frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}\\ &  \\ &  k\theta=ln\left(1+\frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}  \right)\\ &  \\ &  \theta(t) = \frac{ln\left(1+\frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}  \right)}{k}\end{align}$$

Y la velocidad angular es la derivada del ángulo respecto del tiempo.

$$\begin{align}& \frac{ln\left(1+\frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}  \right)}{k}\\ &\\ &w(t)=\theta'(t)=\frac 1k·\frac{1}{1+\frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}}·kV_0\\ &\\ &w(t)=\frac{V_0}{1+\frac{kV_0t}{A \sqrt{1+k^2}}}\end{align}$$

Y se deja así, no por dejarlo con un solo numerador y denominador va a estar más simplificada. Al contrario, se necesitarían más operaciones para calcularla.
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Y eso es todo.