Cual es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo
Dos edificios distan entre sí 50 m. Desde un punto que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 45 y 30 grados. ¿Cuál es la altura de los dos edificios, si sabemos que los dis miden lo mismo?
2 respuestas
Sabemos que el observador está situado en un punto tal que a un edificio está a una distancia "a" y con el otro a una distancia "b" y que a+b = 50
Además si la altura de los edificios es h, entonces podemos armar las siguientes relaciones:
$$\begin{align}&a+b = 50\\&sen 45° = {h \over a} \rightarrow a = {h \over sen 45°}\\&sen 30° = {h \over b} \rightarrow b = {h \over sen 30°}\\&Sumando \ ambas\ expresiones\\&a+b = {h \over sen 45°}+{h \over sen 30°}\\&Factor\ comun \ (y \ reemplazo)\\&50 = h({1 \over 0,7071}+{1 \over 0,5})\\&h = 14,64m\\&\end{align}$$
Cometí un error elemental en el planteo y es que tanto h/a como h/b representan la tangente del ángulo y no el seno del mismo. Reescribiendo todo en función de la tangente, será
$$\begin{align}&a+b = 50\\&tg 45° = {h \over a} \rightarrow a = {h \over tg 45°}\\&tg30° = {h \over b} \rightarrow b = {h \over tg 30°}\\&Sumando \ ambas\ expresiones\\&a+b = {h \over tg 45°}+{h \over tg 30°}\\&Factor\ comun \ (y \ reemplazo)\\&50 = h({1 \over 1}+{1 \over 0,5774})\\&h = 18,30m\\&\\&\end{align}$$
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Sea a la distancia horizontal al edificio de los 45º y sea b la distancia al edificio de los 30º. Se verifica
a+b=50m
Y la tangente del ángulo será la altura entre a y b respectivamente
tg 45º = h/a
tg 30º = h/b
Tenemos 3 ecuaciones para resolver las tres incógnitas, hay mil formas de resolver, por ejemplo depejando h en las dos últimas e igualándolas:
a·tg 45º = b·tg 30º
y despejando a en la primera y trayéndola aquí
a=50-b
(50-b)tg 45º = b·tg 30º
50·tg 45º - b·tg 45º = b·tg 30º
50·tg 45º = b(tg(30º+tg 45º)
b=50·tg 45º / (tg 30º+tg 45º) = 31.69872981
h = 31.69872981·tg 30º = 18.301227019m
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Y eso es todo.