Hallar el resultado de esta integral doble
Necesito realizar el ejercicio 37 de la integral doble espero que me pueda ayudar
1 Respuesta
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x^2+y^2=9 es una circunferencia de radio 3 con centro en (0,0), luego podemos definir el dominio como el comprendido entre -3 y 3 en x, y entre -sqrt(9-x^2) y +sqrt(9-x^2) en "y"
$$\begin{align}&A=\int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}x^2 \sqrt{9-y^2}dydx\end{align}$$No me gusta, vamos a definir el dominio haciendo fijos los límites de y. Asi y varia entre -3 y 3, x varía entre -sqrt(9-y^2) y +sqrt(9-y^2)
$$\begin{align}&A=\int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}x^2 \sqrt{9-y^2}dxdy\\&\\&\int_{-3}^3 \sqrt{9-y^2}\left[\frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}dy=\\&\\&\int_{-3}^3 \sqrt{9-y^2}\left(\frac{\sqrt{(9-y^2)^3}+\sqrt{(9-y^2)^3}}{3} \right)dy=\\&\\&\int_{-3}^3 \sqrt{9-y^2}\left(\frac{2 \sqrt{(9-y^2)^3}}{3} \right)dy=\\&\\&\frac 23\int_{-3}^3 \sqrt{(9-y^2)^4}dy=\frac 23\int_{-3}^3(9-y^2)^2dy=\\&\\&\frac 23\int_{-3}^3(81-18y^2+y^4)dy=\\&\\&\frac 23 \left[81x-6y^3+\frac{y^5}{5} \right]_{-3}^3=\\&\\&\frac{2}{3}\left(243-162+\frac {243}5+243-162+\frac{243}{5} \right)=\\&\\&\frac 23\left(162+\frac{486}{5} \right)=\frac 23{}·\frac{1296}{5}=\frac{864}{5}\end{align}$$Y eso es todo.
como definimos que es una circunferencia de radio de 3
Las matemáticas tienen un conjunto de conocimientos previos, uno de ellos es el capítulo de las cónicas. Ahí se estudia que la ecuación de una circunferencia de radio R y centro (h, k) es
(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2
Si tu tienes la ecuación
x^2 + y^2 = 9
tienes
(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2
Luego es una circunferencia de centro (0,0) y radio 3
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Y eso es todo.
Tengo que exponer sobre este ejercicio me gustaría un poco de teoría para que explique paso a paso
El dominio de integración es la circunferencia
x^2+y^2=9
Que ya te he dichi es una circunferencia de radio 3 con centro en (0,0)
Lo normal hubiera sido tomar límites -3 y 3 en x, entonces como
y^2 = 9-x^2 los límites en y serían estas dos funciones
y = - sqrt(9-x^2)
y = +sqrt(9-x^2)
Pero nada más que vi la integral me di cuenta que era una bastante complicada si se hacía así. Lugo preferí dar los limites fijos a la variable y entre -3 y 3 y los de x serían
x = - sqrt(9-y^2)
x = + sqrt(9-x^2)
Y se ponen esos límites y se calcula la integral.
Primero se hace la integral interior que es respecto x, por lo cual
Sqrt(9-y^2) es como una constante y lo que se debe integrar es x^2 cuya integral es x^3/3.
Luego se evalúa esta integral interior cambiando x por los valores de los límites de integración. Se hacen cuentas y resulta una integral que ya solo tiene la variable y, se integra y se evalúa entre -3 y 3.
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No puedo darte detalles línea por línea son operaciones que se suponen sabidas y no son muy complicadas. Si acaso quieres saber una en concreto me preguntas por una en concreto pero no puedo explicarlo todo. Ya te he dicho alguna vez que los cuadros de fórmulas consumen muchos recursos y si son largos te quedas sin ordenador, luego dentro de ellos no esperes muchas explicaciones y si se puede ahorrar algún paso se ahorra.
