Como calcular el volumen a través de la gráfica.
halle el volumen del solido en el primer octante limitado por los cilindros x^2+y^2=4, x^2+z^2=4. Dibujando los solidos.
Tengo problemas al resolver este volumen.
1 respuesta
Diosa Lara!
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Son dos cilindros de verdad. Me refiero a que otras veces llaman cilindros a superficies cuya proyeccción es una parábola u otra figura, esta vez las proyecciones son circunferencias. Y son circunferencias de radio 2 centradas en el origen.
Luego tomarías un cilindro de pie x^+y^2=4 cuyo eje es el eje Z y otro en horizontal x^2+z^2=4 cuyo eje sería el eje Y.
De la proyección del cilindro de pie sobre el primer cuadrante del plano XY extraerias el dominio de integración y del horizontal extraerás la función z=f(x, y) a integrar. No me funciona ningún programa de hacer gráficas en 3D.
La integral en coordenadas cartesianas sería
$$\begin{align}&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}(4-x^2)dy\,dx\end{align}$$
La integral de las 3 dimensiones es la que no logro emplear (x, y, z) al igual que al efectuarla con coordenadas polares le agradezcco me pueda ayudar.
En cuanto a la gráfica la logre resolver.
En realidad me equivoqué la función que se integra era la raíz cuadrada de la que puse. La integral verdadera es:
$$\begin{align}&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}\sqrt{4-x^2}dy\,dx\\&\\&\text{en tres dimensiones sería}\\&\\&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}\int_0^{\sqrt{4-x^2}}dz \,dy\,dx\\&\\&\text{que es lo mismo exactamente}\\&\\&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}\sqrt{4-x^2}dy\,dx=\\&\\&\left.\int_0^2 \sqrt{4-x^2}·y\right|_0^{\sqrt{4-x^2}} dx=\\&\\&\int_0^2 \sqrt{4-x^2}·\sqrt{4-x^2}dx=\\&\\&\int_0^2(4-x^2)dx =\left[4x-\frac{x^3}{3} \right]_0^2=8-\frac 83=\frac {16}3\\&\\&\end{align}$$
No comprendo porque los limites de Z y Y van iguales a la función despejada del cilindro, ¿dónde dejo mi hiperbolide?
El dominio viene de la proyección del cilindro vertical sobre el plano z=0, esto es la
Circunferencia
x^2+y^2=4
Del plano XY
Es una circunferencia centrada de radio 2.
Como nos dicen el primer octante debemos tomar el primer cuadrante del plano, y entonces el dominio es la cuarta parte del círculo del primer cuadrante, por lo cual los límites en x son 0 y 2
Y en y van desde la recta y=0 hasta la circunferencia cuya ecuación en función de x es
y = sqrt(4-x^2)
Por eso los límites de la segunda integral son 0 y sqrt(4-x^2).
Y en el eje Z tenemos que tomar la parte de arriba ya que nos han dicho primer octante, el límite por abajo es el plano z=0 y por arriba el límite es la función que nos han dado
x^2+z^2 = 4
que en función de x y y es
z=sqrt(4-x^2)
Por eso los límites en z son 0 y sqrt(4-x^2)
Que se repita sqrt(4-x^2) ha sido una casualidad debida a las funciones que han elegido. Y además ha sido una bendición de Dios, si no se hubiera dado esta coincidencia no habría sido tan sencilla la integral.
Y eso es todo saludos.
¡Gracias! Ahora si comprendí exactamente, con esto note mi gráfica hallando como se presenta lo visualice en ella, aclare mis dudas en cuanto a este ejercicio. Agradecida.
¿Mi gráfica seria algo así cierto?
El cilindro naranja está bien, pero el otro no. Debe tener como centro el eje verde y forman una cruz entre los dos, por eso encierran un volumen entre los dos.
Tengo problemas en cuanto a el cilindro acostado.
Si, eso sería, pero haría falta marcar el perfil de donde se cortan para verlo bien. ¿Pero eso la hace automáticamente Geogebra o eres tu la que está dibujando en perspectiva y los ejes son tuyos?
Lo que sucede exactamente no se usarlo muy bien, y por ende me guio de mi cilindro x^2+y^2=4 y supongo que seria similar pero acostado en Y.
Lo que pasa es que mientras lo tienes en Geogebra y le pasas el ratón se ven las sombras y se ven las líneas de intersección pero cuando copias ya no se ven. Se veía que era como una priramide de cuatro caras curvas.
