Vectores: Si A×B=8i−14j+k y A+B=5i+3j+2k, hallar A y B

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Ivan!

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Es una pena que en el editor de ecuaciones no se puedan mezclar matrices y determinantes con otras matrices o determinantes y con otras cosas, lo han dejado mal y solo se puede poner una matriz o determinante.

De la suma deducimos estas ecuaciones

$$\begin{align}&b_x=5-a_x\\&b_y=3-a_y\\&b_z=2-a_z\end{align}$$

Bueno intentaré hacerlo, primero escribo el determinante y en otra fórmula la igualdad

$$\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$$

$$\begin{align}&=(a_yb_z-a_zb_y)i-(a_xb_z-a_zb_x)j+(a_xb_y-a_yb_x)k=8i-14j+k\\&\\&a_yb_z-a_zb_y=8\\&a_xb_z-a_zb_x=14\\&a_xb_y-a_yb_x=1\\&\\&\text{sustituyendo los valores anteriores de }b_x,b_y,b_z\\&\\&a_y(2-a_z)-a_z(3-a_y)=8\\&a_x(2-a_z)-a_z(5-a_x)=14\\&a_x(3-a_y)-a_y(5-a_x)=1\\&\\&2a_y-3a_z=8 \\&2a_x-5a_z=14\\&3a_x-5a_y=1\\&\\&\end{align}$$

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0   2  -3 | 8
2   0 -5  |14
3  -5  0  |1

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multiplico la primera por 5 y la segunda por -3

 0   10  -15  | 40

-6     0   15  |-42

 3    -5    0   |   1 

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sumo la primera a la segunda

0    10  -15  | 40

-6   10     0  |  -2

 3    -5     0  |   1

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No me lo puedo creer, la tercera es proporcional a la segunda y sobra

Tomemos un parámetro t que sea a_z, entonces

a_z = t

a_y = (40+15t)/10 = 4 + 3t/2

a_x = [-2 - 10(4 + 3t/2)]/(-6) = (2 + 40 +15t)/6 = 7+5t/2

b_x = 5-(7+5t/2) =-2 - 5t/2

b_y = 3-(4+3t/2) = -1 - 3t/2

b_z = 2-t

Luego los vectores son:

$$\begin{align}&A=\left(7+\frac{5t}{2},\;4+\frac{3t}{2},\;t  \right)\\&\\&B=\left(-2-\frac{5t}{2},\;-1-\frac {3t}{2},\;2-t  \right)\\&\\&\text {A+B  =(5,3,2) se ve a simple vista }\\&\\&\text{AxB lo comprobaré con el ordenador}\\&\\&\text{Ya está comprobado, está bien.}\end{align}$$

Y eso es todo.