Como realizar Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales.
Le agradecía su ayuda... Esto es un trabajo pero exactamente lo veo algo confuso y complicado de resolver
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Buenas disculpe la tardanza estoy interesada pero mantuve fallas al volver ingresar...
respondiendo a la duda en efecto: La primera ecuación tiene una K mayúscula, la segunda una k minúscula.
$$\begin{align}& \end{align}$$Por si acaso representan constantes distintas lo mantendré, pero es muy probable que sean la misma.
$$\begin{align}&\text{derivo la primera respecto de t}\\&\\&\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{K}{VA}\left(\frac {dy}{dt}-\frac{dx}{dt} \right)\\&\\&\text{sustituyo los valores de las ecuaciones}\\&\\&\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{K}{VA}\left(\frac k{VB}(x-y)-\frac{K}{VA}(y-x) \right)\\&\\&\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{K}{VA}\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA} \right)(x-y)\\&\\&\text{despejo y en la primera ecuación}\\&\\&y=\frac{dx}{dt}·\frac{VA}{K}+x\\&\\&\text{y lo sustituyo donde estábamos}\\&\\&\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{K}{VA}\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA} \right)\left(x-\frac{dx}{dt}·\frac{VA}{K}-x\right)\\&\\&\frac{d^2x}{dt^2}=-\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA} \right)\frac{dx}{dt}\\&\\&\frac{d^2x}{dt^2}+\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA} \right)\frac{dx}{dt}=0\\&\\&\text{Es una ecuación lineal homogénea}\\&\text{Con } \;0\quad y\quad -\bigg(\frac k{VB}+\frac{K}{VA}\bigg)\\&\\&\text{raíces de la ecuación característica}\\&\\&x(t)=C_1+C_2e^{-\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA}\right)t}\\&\\&y(t)=\frac{dx}{dt}·\frac{VA}{K}+x(t)=\\&\\&-\frac{VA}{K}C_2\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA}\right)e^{-\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA}\right)t}+ C_1+C_2e^{-\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA}\right)t}=\\&\\&C_1-C_2· \frac{VA}{K}·\frac{k}{VB}e^{-\left(\frac k{VB}+\frac{K}{VA}\right)t}\\&\\&\text{Para que }x(0)=x_0,\;y(0)=y_0\\&\\&x_0=C_1+C_2\\&\\&y_0=C_1-C_2· \frac{VA}{K}·\frac{k}{VB}\\&\\&x_0-y_0=C_2\bigg(1+ \frac{VA}{K}·\frac{k}{VB}\bigg)\\&\\&C_2=\frac{x_0-y_0}{1+ \frac{VA}{K}·\frac{k}{VB}}=\frac{K·VB(x_0-y_0)}{K·VB+k·VA}\\&\\&C_1=x_0-C_2=\frac{k·VAx_0+K·VBy_0}{K·VB+k·VA}\end{align}$$El ordenador ya no puede más con el cuadro de fórmulas. Te mando la respuesta y si acaso la termino después, pero lo que queda ya lo podrías hacer tú.
Veamos a ver si puedo continuar.
$$\begin{align}&x(t)=\frac{k·VA·x_0+K·VB·y_0+K·VB(x_0-y_0)e^{-\left(\frac{k}{VB}+\frac{K}{VA}\right)t}}{K·VB+k·VA}\\&\\&y(t)=\frac{k·VA·x_0+K·VB·y_0+k·VA(y_0-x_0)e^{-\left(\frac{k}{VB}+\frac{K}{VA}\right)t}}{K·VB+k·VA}\\&\\&\text{Si fuera }k=K \text{ y simplificando los VA y VB sería}\\&\\&x(t)=\frac{V_a·x_0+V_b·y_0+V_b(x_0-y_0)e^{-\left(\frac{k}{V_b}+\frac{k}{V_a}\right)t}}{V_a+V_b}\\&\\&y(t)=\frac{V_a·x_0+V_b·y_0+V_a(y_0-x_0)e^{-\left(\frac{k}{V_b}+\frac{k}{V_a}\right)t}}{V_a+V_b}\\&\end{align}$$·
Y eso es todo.
