Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo

Las ecuaciones para MRUV (movimiento rectilineo uniformemente variado) son básicamente dos:

Distancia:

x(t) = x_0 + v_0 t + (1/2) a t^2

Velocidad: (la podés deducir derivando x(t))

v(t) = v_0 + a t

El tiro vertical, es un caso particular de MRUV donde la aceleración, en general se considera negativa y es igual a la aceleración de la gravedad, que se toma como 9,8 m/s^2 (ya que, generalmente se considera el movimiento del proyectil hacia arriba como positivo y sería negativo hacia abajo).

En tu caso tenemos

$$\begin{align}&x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2\\&\mbox{a vos te dan h(t) (que sería lo mismo que x(t)), con los siguientes valores}\\&h(t) = 28t - 2t^2\\&podemos ver que \\&x_0=0\\&v_0 = 28\\&\frac{1}{2}g = 2 \mbox{ Esto no es correcto ya que ese valor es conocido y sería 4,9; así que vamos a adoptar la fórmula que te dieron a vos y descartamos la teórica de x(t)}\\&\mbox{Si sabemos además que la velocidad es la derivada de la posición, así que podemos decir para tu expresión que}\\&v(t) = 28 - 4t\\&\mbox{Ahora veamos que nos piden}\\&a) h(t) = 80 = 28t - 2t^2\\&0 = -80+28t-2t^2\\&\mbox{Usando, la resolución de la cuadrática tenemos:}\\&t_1 = -16,4 \land t_2=2,4\\&\mbox{El valor negativo de t no tiene sentido "físico", así que nos quedamos con t=2,4 s}\\&b) \mbox{De la forma que expresaron la posición con h(t) se puede ver que consideraron el origen de coordenadas en el suelo (pues }h_0=0 \mbox{Así que nos están pidiendo averiguar t para h(t)=0}\\&h(t)=0 = 28t-2t^2\\&0 = t(28-2t)\\&\mbox{Cuyas soluciones son:}\\&t=0 \mbox{ la trivial que es cuando el proyectil aún no fue lanzado}\\&28 - 2t=0 \to t = 14s \mbox{ (que es la solución que están pidiendo aquí)}\end{align}$$

·

h(t) = 28t- 2t^2

a)

Reemplazamos 80 en el lugar de la altura

80 = 28t - 2t^2

Lo pasamos todo a la izquierda

2t^2 - 28t +80 =0

dividimos por 2 para facilitar un poco las cuentas

t^2 - 14t + 40 = 0

y resolvemos la ecuación de segundo grado

$$\begin{align}&t=\frac{14\pm \sqrt{14^2-4·40}}{2}=\\&\\&\frac{14\pm \sqrt{196-160}}{2}=\frac{14\pm \sqrt{36}}{2}=\\&\\&\frac{14\pm 6}{2}= 4\quad y\quad10\end{align}$$

De las dos respuestas la primera corresponde a cuando sube y la segunda a cuando baja, luego la que nos piden es

t = 4 s

·

b)

Y llegará al suelo cunado h(t)=0 luego

0 = 28t - 2t^2

sacando facor común

2t(-t+14) = 0

Una solución es t=0 pero esa no sirve porque es cuando se lanza. La otra solución viene de

-t+14 = 0

-t=-14

t=14

Luego llega al suelo a los

t = 14s

·

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. NO olvides votar y otras preguntas si las tuvieras con otro usuario.