¿Como puedo resolver esta integral?

Supongo que Lx es logaritmo neperiano de x (escrito normalmente como ln x o ln(x))

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{1+ln(x)}}{x}dx\\&\mbox{sustitución (1+lnx = u)}\\&\frac{1}{x}dx = du\\&\int \sqrt{u}\ du=\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}(1+lnx)^{3/2}+C\end{align}$$

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Supongo que L es logaritmo nepariano, es la única función que puede hacer eque esto sea fácil de integrar.

Se puede hacer un cambio un poco más osado.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{1+ln\,x}}{x}dx=\\&\\&t^2=1+ln\,x\implies t=\sqrt{1+ln\,x}\\&2t\;dt=\frac {dx}x\\&\\&=\int t·2t\;dt=2\int t^2 \;dt=\\&\\&2·\frac{t^3}{3}+C=\frac 23 \sqrt{(1+lnx)^3}+C\end{align}$$

Y eso es todo.