Como podría resolver la siguiente ntegral
Un saludo y muchas gracias! :)
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2 respuestas
Respuesta de Lucas m
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Al hacer la integral, acaba saliendo
$$\begin{align}&\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\frac{\pi}{2}\end{align}$$Cuyo valor he obtenido de unas tablas, ya que no existe la primitiva de esa función.
El proceso es:
$$\begin{align}&\int \frac{2 \sqrt x}{e^{x+1}}dx=2 \int \frac{\sqrt x}{e^x·e}=\frac{2}{e} \int e^{-x}\sqrt x dx=\\&\\&u= \sqrt x \Rightarrow du=\frac{1}{2 \sqrt x}dx\\&\\&dv=e^{-x} \Rightarrow v=-e^{-x}\\&\\&=uv-\int vdu=\frac{2}{e} \Bigg [- \sqrt x·e^{-x}+\int \frac{1}{2 \sqrt x}e^{-x}dx \Bigg]\\&\\&=\frac{2}{e} \Bigg [- \sqrt x·e^{-x}+I \Bigg ]\\&\\&I=\int \frac{1}{2 \sqrt x}e^{-x}dx=Cambio \ Variable\\&\sqrt x=t \Rightarrow dt=\frac{1}{2 \sqrt x}dx\\&I=\int e^{-t^2}dt\\&\\&\int_0^{\infty} \frac{2 \sqrt x}{e^{x+1}}dx=\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e} \Bigg [- \sqrt x·e^{-x} \Bigg ]-0+ \frac{2}{e} \int_0^{\infty}e^{-t^2}dt=0+\frac{\sqrt \pi}{2}·\frac{2}{e}=\frac{\sqrt \pi}{e}\\&\\&\\&Luego:\int_0^{\infty}\frac{1+2 \sqrt x}{e^{x+1}}dx=\int_0^{\infty}e^{-x-1}dx+\frac{\sqrt \pi}{e}=\\&\\&\Bigg[-e^{-x-1} \Bigg ]_0^{\infty}+\frac{\sqrt \pi}{e}=\frac{1}{e}+\frac{\sqrt \pi}{e}=\frac{1+ \sqrt \pi}{e} \simeq 1,019928773\\&\\&\\&\\&\end{align}$$
$$\begin{align}&\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt {\pi}}{2}\end{align}$$La integral de las tablas era
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}&\int_0^{\infty}\frac{1+2 \sqrt x}{e^{x+1}}dx\\&\\&\text{mejor hago primero solo la indefinida}\\&\\&\int \frac{1+2 \sqrt x}{e^{x+1}}dx=\\&\\&\int e^{-(x+1)}+\int 2 \sqrt xe^{-(x+1)}=\\&\\&u=2 \sqrt x\qquad \quad du=\frac{dx}{\sqrt x}\\&dv=e^{-(x-1)}dx\quad v=-e^{-(x+1)}\\&\\&-e^{-(x+1)} -2 \sqrt xe^{-(x+1)}+\int \frac{e^{-(x+1)}}{\sqrt x}dx=\\&\\&t= \sqrt x\\&dt= \frac{dx}{2 \sqrt x}\implies \frac{dx}{\sqrt x}=2\;dt\\&\\&=-e^{-(x+1)} -2 \sqrt xe^{-(x+1)}+2\int e^{-t^2-1}dt=\\&\\&-e^{-(x+1)} -2 \sqrt xe^{-(x+1)}+\frac 2e\int e^{-t^2}dt=\\&\\&\text{en una distribución de probabilidad normal }N(0,\sigma)\; \\&\\&\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty}e^{-\frac 12 \left(\frac{x}{\sigma} \right)^2}dx= \frac 12\\&\\&\text{si hacemos }\sigma=\sqrt \frac 12\implies \frac{1}{\sqrt \pi}\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac 12\\&\\&\text{luego }\frac 2e\int_0^{\infty} e^{-t^2}dt=\frac 2e·\frac{\sqrt \pi}{2}=\frac{\sqrt \pi}{e}\\&\\&\text{Y la integral definida es}\\&\\&\left[-e^{-(x+1)} -2 \sqrt xe^{-(x+1)}\right]_0^{\infty}+\frac{\sqrt \pi}{e}=\\&\\&0-0+e^{-1}+0+\frac{\sqrt \pi}{e}=\frac{1+\sqrt \pi}{e}\end{align}$$Y eso es todo, esta integral era bastante más complicada.