Procedimiento legal para aparcamiento y modificación de dirección en DNI en alquileres

Soy un chico que acabo de alquilar un piso a mi entrenador del gimnasio. El alquiler que me ha hecho ha sido de 250 €/mes, luz y agua aparte. El problema que estoy teniendo es el del aparcamiento. Estoy pensando que probablemente me haya precipitado al alquilarle el piso, debido a lo siguiente: según las palabras de mi entrenador, el piso que me ha alquilado es propiedad de su novia. Ha sido un alquiler sin contrato, esto es, yo no he recibido ninguna documentación sobre la casa, donde me aparece de quien es propiedad, ni nada por el estilo. Mi entrenador, para poder hacer los trámites para que pueda aparcar en la zona donde está la casa sin tener que pagar la OTA, recibiendo una tarjeta para pegar en el coche, me dijo que le dejase mi DNI, que él iba a hacer unos trámites en el Ayuntamiento para que de esa forma pudiese aparcar y se pudiese modificar mi dirección en mi DNI (me dijo que eran unos trámites muy rápidos y han pasado 11 días). Después de no poder el primer día, me dijo que el problema que había es que el piso está a nombre de su novia, y que ella está empadronada en su casa pero que tiene aún documentación suya en casa de sus padres, en otra localidad, lo que dificultaba poder hacer los trámites, y en cuanto estuviera arreglado se me podría hacer sin problemas. A mí lo que me sorprende es que me haya pedido el DNI para ir él en lugar de decirme para ir yo con él o yo con su novia y firmar los papeles correspondientes ambos. Además hablando un día con su novia me hizo unos comentarios del estilo de "la persona que me ha dejado a mí la casa...", lo que yo interpreté como que podía no estar a su nombre sino a la de otra persona conocida por ella, vamos, un caos, sin tener yo ninguna documentación y aún sin poder aparcar. Me dice mi entrenador que si ahora le dejo el DNI no habría ningún problema en hacer el trámite, recalcándome que siempre y cuando no le pongan pegas en el Ayuntamiento (cosa que no debería pasar si todo está en regla). Por ello, me gustaría saber, primero, si yo al estar sin contrato tengo alguna forma de que pueda figurar la dirección en mi DNI o es imposible, y segundo, cuales son los pasos correctos que hay que dar para la concesión de una tarjeta para poder aparcar el coche en la zona gratuitamente. Sino realmente no me interesa seguir en ese piso.