Calcular la integral triple sobre una región R

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Hay que echarle un poco de imaginación ya que las gráficas tridimensionales no están muy al alcance, yo no he conseguido un programa bueno para ellas.

El cilindro y^2+z^2=4 está tumbado y centrado en el eje X y su radio es 2.

Si nos dicen primer octante ya no es necesario que nos digan acotado por y=0, z=0 ya que primer octante incluye las condiciones x>=0, y>=0, z>=0

Y los planos

x+y=2

2y+x=6

son verticales al carecer de z.

Vamos a dibujar el dominio de integración que eso si es fácil, es la proyección sobre el plano z=0 de todo lo que tenemos.

Lo marcado en amarillo es el dominio.  Para hacerlo con una sola integral tomaremos como límites fijos los de y, entre 0<=y<=2

Y como límites variables en x los de las dos rectas dadas como función x=f(y)

x=2-y

x=(6-y)/2

2-y <= x <= (6-y)/2

Y los límites en z son los de suelo y la pared del cilindro expresada como función z = f(x, y). Serán

0 <= z <= sqrt(4-y^2)

Luego el volumen expresado como integral triple es

$$\begin{align}&V=\int_0^2\int_{2-y}^{\frac{6-y}2}\int_0^{\sqrt{4-y^2}}dz\,dx\,dy\end{align}$$

Y esto convendría que lo integrases tú.