Calcular el área de un ejercicio de cálculo vectorial.
Me pueden apoyar a calcular el área de la región indicada.
a) 
b)
1 respuesta
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No es un ejecicio nada sencillo, haremos la gráfica.
1+2cost=0
2cost=-1
cost=-1/2
t = 120º y 240º = 2pi/3 y 4pi/3
Los difíciles de calcular son los angulos los puntos a y b donde se intersectan las dos curvas
1+2cost = 2+4sent
-1+2cost = 4sent
1 + 4cos^2(t) - 4cost = 16sen^2t
1 + 4cos^2(t) - 4cost = 16 - 16cos^2t
20cos^2t - 4cost - 15 = 0
$$\begin{align}&\cos t = \frac{4\pm \sqrt{16+1200}}{40}=\\&\\&\frac{1\pm 2 \sqrt{19}}{10}\approx 0.9717797887 \; y \;-0.7717797887\end{align}$$Pero veamos que las intersecciones están en el bucle interno de la primera curva, cuyos límites son 2pi/3 y 4pi/3 o para entederte mejor 120º y 240º, eso significa que el coseno debe ser negativo, luego la respuesta que sirve es la segunda y los ángulos de los puntos a y b son
$$\begin{align}&b=arcos \left(\frac{1- 2 \sqrt{19}}{10}\right)\approx2.452431639\\&\\&a=2\pi-arcos \left(\frac{1- 2 \sqrt{19}}{10}\right)\approx 3.830753668\\&\end{align}$$Y lo que necesitamos también son los ángulos en que la segunda curva pasa por el origen
1+2sent = 0
sent=-1/2
t = 150º y 330º = 5pi/6 y 11pi/6
Y lo voy a dejar poque no estoy seguro si va a salir bien, en realidad para los cortes había que haber resuelto la ecuación
|1+2cost| = |2+4sent|
Lo cual lo hace más complicado y no se si las respuestas que he dado son buenas.
Una vez se conocen los ángulos de corte de las dos curva y los ángulos de corte con el origen hay que aplicar la fórmula del área para funciones polares
$$\begin{align}&A=\left|\frac 12\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}r^2(t)dt \right|\end{align}$$Las líneas de color violeta te indican lo que se debe sumar y restar para calcular el área.
Y estos son los pasos que tendrías que dar:
1) Calcular el área de la primera curva entre 2pi/3 y 4pi/3, eso te daría el area de la figura negra.
2) Restar el área de la la primera función entre a y 4pi/3
3) Restar el área de la segunda entre 5pi/6 y a
4) Restar el área de la primera entre 2pi/3 y b
5) Sumar el área de la segunda entre b y 11pi/6
Y eso es todo, es un ejercicio francamente camplicado y ya llevaba mucho tiempo con él, espero que lo que he hecho te sirva para comprobarlo y terminanarlo.
