Problema sobre Dinámica II - Vibraciones Libres No Amortiguadas
El problema trata sobre Vibraciones Libres No Amortiguadas. - Vibraciones mecánicas
Ayuden me pro favor ..
3 respuestas
Sí despreciamos la masa del émbolo 0.5 podemos aplicar M pelota* g *h= 1/2* k *y^2= 0.3*10*4=100* y^2 y= (12/100)^1/2=0.3464 m si contamos con la masa del embolo Mpelota *g = M embolo* a 3=0.5*a a= 6 m/s^2 Haciendo esto 0.5*6= K*y 3=200*y y=0.015 m Y=1.5 cm y si despreciamos masa del embolo Y=34.64 cm
Pero podría decirme cual es la Intentar y(t) del embolo como me piden en el enunciado.. Explique me por favor
Gracias
La Intentar será y= 1.5 cm si consideramos la masa del embolo y sin la masa del embolo y=34.64 cm Fuerza elástica = K* y energía elástica 1/2 * K* y^2 Energia potencial= masa* gravedad* altura g=10 m/s^2 y Fuerza= m*a
Fuerza que impulsa a la pelota que cae = masa x aceleracion = 0.3 Kg x 10 M/SEG^2 = 3 Newton.......................al caer sobre el embolo lo comprime hasta K x elongacion máxima = 200 N/m x (delta y) ....................luego (delta y) = 3 N / 200 N/m = 0.015 m.
Consideramos eje positivo de las y hacia abajo.
La velocidad de arribo de la pelota al embolo es = V 2gh = V 2x10x4 = 8.94 m/seg.
La ecuación del sistema masa resorte la deducís de plantear M( embolo) x aceleracion= - K (delta y) = - 200 ( delta y)
Esta expresion responde a la ecuacion diferencial .......dy2/dt2 + w^2y = 0
con w^2 = K/ M( embolo) = 200 N/m / 0.50 Kg = 400/ seg^2
La solución seria y(t) = 0.015 ( cos 20 t ) m... movimiento armónico simple. Eje y positivo hacia abajo desde posicion inicial de reposo del embolo = 0 m.
Enrique Et!
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Calculamos la velocidad de impacto contra el émbolo.
$$\begin{align}&V_{i1}= \sqrt{2gh}= \sqrt{80}=8.94427\,m/s\\&\\&\text{Se conservan momento lineal y energía cinética}\\&\\&0.3\,·\,8.94427 = 0.3V_{f1}+ 0.5V_{f2}\\&0.3\,·\,8.94427^2 = 0.3V_{f_1}^2+0.5V_{f2}^2\\&\\&V_{f1}=\frac{2.683281-0.5V_{f2}}{0.3}\\&\\&24=\frac{(2.683281-0.5V_{f2})^2}{0.3}+0.5V_{f2}^2\\&\\&8 = 7.2-2.683281V_{f2}+0.25V_{f2}^2+0.15V_{f2}^2\\&\\&0.40 V_{f2}^2-2.683281V_{f2}-0.8=0\\&\\&V_{f2}=\frac{2.683281\pm \sqrt{2.683281^2-4·0.4·0.8}}{0.8}=\\&\\&\text{la que vale de las dos es:}\\&6.994155\,m/s\\&\end{align}$$Considerando los signos del eje Y sería en realidad -6.994155 m/s y será en módulo la velocidad máxima que tendrá el émbolo en su movimiento vibratorio. Para que se cumpla que se empieza yendo a posiciones negativas la ecuación de movimiento será
$$\begin{align}&y(t)=-A\,sen(wt)\\&v(t) = -A\,w\,\cos(wt)\\&a(t) = A\,w^2sen(wt)=-A\,w^2\,y(t)\\&\\&F(t)=-k·y(t)\\&F(t) =m·a(t) =-m\,A\,w^2\,y(t)\\&\\&\text{luego}\\&\\&-k·y(t)=-m\,A\,w^2·y(t)\\&k = m\,A\,w^2\\&400=0.5\,A\,w^2\\&A\,w^2=800\\&\\&\text{por otra parte de la ecuación de la velocidad}\\&\text{se deduce que la máxima es Aw, luego}\\&Aw=6.994155\\&\\&\text{dividiendo la de arriba por la de abajo}\\&w=\frac{800}{6.994155}=114.3812226\\&\\&A=\frac{6.994155}{w}=\frac{6.994155}{114.3812226}=0.06114775521\\&\\&\text{Luego la la ecuación de posición del émbolo será}\\&\\&y(t)=-0.06114775521\,·\,sen(114.3812226\,t)\\&\end{align}$$con t medido en segundos e y en metros.
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Y eso es todo.
¡Ay espera!
No se por qué se me puso en la cabeza que la constante era 400 y es 200 en realidad
$$\begin{align}&y(t)=-A\,sen(wt)\\&v(t) = -A\,w\,\cos(wt)\\&a(t) = A\,w^2sen(wt)=-A\,w^2\,y(t)\\&\\&F(t)=-k·y(t)\\&F(t) =m·a(t) =-m\,A\,w^2\,y(t)\\&\\&\text{luego}\\&\\&-k·y(t)=-m\,A\,w^2·y(t)\\&k = m\,A\,w^2\\&200=0.5\,A\,w^2\\&A\,w^2=400\\&\\&\text{por otra parte de la ecuación de la velocidad}\\&\text{se deduce que la máxima es Aw, luego}\\&Aw=6.994155\\&\\&\text{dividiendo la de arriba por la de abajo}\\&w=\frac{400}{6.994155}=57.1906113\\&\\&A=\frac{6.994155}{w}=\frac{6.994155}{57.1906113}=0.12229551\\&\\&\text{Luego la la ecuación de posición del émbolo será}\\&\\&y(t)=-0.12229551\,·\,sen(57.1906113\,t)\end{align}$$