Hallar punto de tangencia a una superficie

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Si la recta tangente está contenida en el plano x=1 no lo queda más remedio al punto de tangencia que tener coordenada x=1. Y a la tangente no le queda más remedio que ser una tangente al curva que se obtiene cortando la curva con el plano x=1.

Por lo tanto es la tangente a la curva

z=sqrt(9·1^2+4y^2)

z=sqrt(9+4y^2)

En el espacio no se puede hablar de pendiente en la misma forma que el plano, pero voy a entender que por pendiente quieren decir la que forma ahora el par de coordenadas (y, z), es decir z/y

Hacemos la derivada

$$\begin{align}&z' = \frac{4y}{\sqrt{9+4y^2}}\\&\\&\text{y la igualamos al valor que nos dan}\\&\\&\frac{4y}{\sqrt{9+4y^2}}=\frac 85\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&\frac{16y^2}{9+4y^2}= \frac{64}{25}\\&\\&400y^2=576+256y^2\\&\\&144y^2=576\\&\\&y^2=\frac{576}{144}=4\\&\\&y=\pm2\\&\\&\text{Pero vemos que la respuesta y=-2 no vale}\\&\text{pues no satisface la ecuación original}\\&\\&\frac{4y}{\sqrt{9+4y^2}}=\frac 85\\&\\&\text{Es la típica respuesta fantasma que aparece}\\&\text{al elevar al cuadrado para resolver}\\&\\&\text{Luevo es }y=2\\&\\&\text{Y conociendo x [e/y] y calculamos z}\\&\\&z=\sqrt{9·1^2+4·2^2}=\sqrt{9+16}=5\\&\\&\text{luego el punto de tangencia es:}\\&\\&(1,2,5)\end{align}$$

Nota:  Lo de

"Y conociendo x [e/y] y calculamos z"

Tiene su explicación. En españa diríamos "equis e igriega" y en América "equis y ye" por eso dejé a elección la conjunción a utilizar.

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Y ya terminé, espero que te sriva y lo hayas entendido.

Saludos.

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