Anónimo
Resolución de una integral por partes doble
Buenas a todos los del foro, quisiera saber como resolver esta integral definida utilizando integración por partes.
2 respuestas
Vamos a ver si me aclaro
$$\begin{align}&\int _0^te^{-jw\tau}sen (w_D\tau)\;d\tau\end{align}$$¿Es eso o el tau está fuera del seno? ¿La j no será por casualidad la unidad imaginaria que los matemáticos llamamos i y los físicos llaman j?
A lo mejor nome expliqué bien, escribo las dos opciones para que me digas cuál es
$$\begin{align}&a)\int _0^te^{-jw\tau}sen (w_D\tau)\;d\tau\\&\\&b)\int _0^te^{-jw\tau}sen (w_D)\tau\;d\tau\\&\\&\text{yo creo que es la opción a}\\&\text{ya que si fuera la b se podria haber sacado fuera}\\&\\&b) = sen(w_D)\int_0^te^{-jw\tau}\,\tau\;d\tau\end{align}$$
¡Gracias!
En ese caso debe ser la opción a.
Las integrales de una función exponencial por otra que sea el seno o el coseno se resuelven aplícando la integración por partes dos veces con lo cual se llega a la misma integral que al principio salvo constantes y queda una ecuación donde se puede calcular la integral.
Vamos a calcular la integral indefinida y la vamos a llamar I
$$\begin{align}&I=\int e^{-j\,w\,\tau}sen(w_D\,\tau)\;d\tau=\\&\\&u=sen(w_D\,\tau)\qquad \quad du=w_D\,\cos (w_d\,\tau)\,d\tau\\&dv=e^{-j\,w\,\tau} d\tau\qquad\quad\; v=-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}\\&\\&=-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{jw}sen(w_D\,\tau)+\frac{w_D}{j\,w}\int e^{-j\,w\,\tau}\cos (w_D\,\tau)\;d\tau=\\&\\&u=\cos(w_D\,\tau)\qquad \quad du=-w_D\,sen (w_d\,\tau)\,d\tau\\&dv=e^{-j\,w\,\tau} d\tau\qquad\quad\; v=-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}\\&\\&=-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}sen(w_D\,\tau)- \frac {w_D}{\,j\,w}·\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}\cos(w_D\,\tau)-\frac{w_D}{j\,w}·\frac{w_D}{j\,w}·I\\&\\&\text{hemos llegado a una expresión del tipo }I=f(\tau)-kI\\&\text{en ella se puede despejar }I\\&\\&I+\frac{w_D^2\,I}{j^2w^2}=-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}sen(w_D\,\tau)- \frac {w_D}{\,j\,w}·\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}\cos(w_D\,\tau)\\&\\&I ·\frac{j^2w^2+w_D^2}{j^2w^2}=-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}\left(sen(w_D\,\tau)+ \frac {w_D \cos(w_D\,\tau)}{\,j\,w}\right)\\&\\&I =-\frac{e^{-j\,w\,\tau} }{j\,w}· \frac{j^2w^2}{ j^2w^2+w_D^2}\left(sen(w_D\,\tau)+ \frac {w_D \cos(w_D\,\tau)}{\,j\,w}\right)\\&\\&I=-\frac{-e^{-j\,w\,\tau}\bigg(j\,w\,sen(w_D\,\tau)+w_D \cos(w_D\,\tau)\bigg)}{ j^2w^2+w_D^2}\end{align}$$No me quedó claro si quisiste decir que j era la unidad imaginaria, si es así donde pone j^2 lo puedes sustituir por -1
Y ahora quedaría por evaluar esa integral entre 0 y t y multiplicar por la constante que había delante de la integral. Yo creo que lo puedes hacer tú, si no dímelo.
Saludos.
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