Comprobacion de integrales impropias (convergente y divergente)

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¡Hola Brenda!

Si te fijas ambas funciones son impares, simétricas respecto del punto (0,0) Y en esas funciones la integral entre [-x, x] es 0 y eso se transmite al límite, luego ambas integrales darán 0. Pero haciéndolas son

$$\begin{align}&\int \frac{x\;dx}{(1+x^2)^2}=\\&\\&t=1+x^2\\&dt= 2x\;dx\implies x\;dx=\frac 12 dt\\&\\&=\frac 12\int \frac {dt}{t^2}=-\frac 1{2t}=-\frac{1}{2(1+x^2)}\\&\\&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\;dx}{(1+x^2)^2}=-\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2(1+x^2)}+\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{2(1+x^2)}=\\&\\&-0+0=0\\&\\&-------------------------\\&\\&\int \frac{x\;dx}{1+x^2}=\\&\\&t=1+x^2\\&dt= 2x\;dx\implies x\;dx=\frac 12 dt\\&\\&=\frac 12\int \frac{dt}{t}= \frac 12ln|t| =\frac 12ln(1+x^2)\\&\\&\\&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\;dx}{1+x^2}=\frac 12\lim_{x\to \infty}ln(1+x^2)-\frac 12\lim_{x\to-\infty} ln(1+x^2)=\\&\\&\text{para hacerlo con rigor cambiamos el límite segundo}\\&\\&\frac 12\lim_{x\to \infty}ln(1+x^2)-\frac 12\lim_{x\to\infty} ln(1+(-x)^2)=\\&\\&\frac 12\lim_{x\to \infty}ln(1+x^2)-\frac 12\lim_{x\to\infty} ln(1+x^2)=\\&\\&\frac 12\lim_{x\to \infty}\left(ln(1+x^2)-ln(1+x^2)  \right)=\\&\\&\frac 12 \lim_{x\to \infty} 0 = \frac 12 ·0 = 0 \\&\\&\end{align}$$

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Veamos si sale algo...

$$\begin{align}&\int_{- \infty}^{+\infty}\frac{x}{(1+x^2)^2} dx\\&\text{(sustitución 1+x}^2=u)\\&1+x^2=u\\&2x\ dx = du\\&x\ dx = du/2\\&\int_{- \infty}^{+\infty}\frac{du}{2 u^2} =\frac{1}{2} \int_{- \infty}^{+\infty} u^{-2} \ du=\\&\frac{1}{2}  \frac{u^{-1}}{-1} \bigg |_{- \infty}^{+\infty}=\frac{-1}{2(1+x^2)}  \bigg |_{- \infty}^{+\infty}=\\&\text{Creo que se ve que lo anterior da cero, \sin embargo si te piden resolverlo "formalmente" sería algo del estilo}\\&\lim_{t \to +\infty}\frac{-1}{2(1+t^2)}+\frac{1}{2(1+(-t)^2)}=\frac{0}{2(1+t^2)}.....0 / \infty \to 0\\&\\&\text{Para la segunda vale la misma sustitución, así que voy más rápido y salteo algunos pasos}\\&\int_{- \infty}^{+\infty}\frac{x}{(1+x^2)} dx\\&\int_{- \infty}^{+\infty}\frac{du}{2 u} =\frac{1}{2} ln |u| = \frac{1}{2} ln |1+x^2| \bigg |_{- \infty}^{+\infty}\\&\text{Acá estoy en una duda que tendrás que esperar que la resuelva otro experto, ya que a mí también me da 0, ya que tendríamos}\\&\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{2} (ln| 1 +t^2| - ln|1+(-t)^2|)=\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{2} (ln| 1 +t^2| - ln|1+t^2|)=\\&\text{Mas allá que es un caso }\infty/\infty, \text{la realidad es que es el mismo valor y por eso considero que esa cuenta es cero}\end{align}$$

Saludos y deberás esperar que alguien te ayude con el segundo ya que, como ves, yo no pude llegar a nada concluyente.