Resolver ejercicio empleando la suma de Reimann para encontrar el área limitada por la curva en el intervalo dado.

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¡Hola Abi!

Dividiremos el dominio de integración en n intervalos iguales y calcularemos el límite cuando n tiende a infinito la suma de productos del valor de la función en un punto del intervalo por la longitud del intervalo.

$$\begin{align}&S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)·\frac{b-a}n=\\&\\&(b-a)·\lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{i=1}^nf(x_i)\\&\\&\text{donde }x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}\\&\\&\text{Entonces la suma de Riemann es}\\&\\&S=(4-1)·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(-2\left(1+\frac{3i}{n}\right)+6\right)=\\&\\&3·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(-2-\frac {6i}{n}+6\right)=\\&\\&3·\lim_{n\to \infty} \left(4-\frac 6{n^2}\sum_{i=1}^ni\right)=\\&\\&\text{Y hay que usar esta fórmula de la suma}\\&\text{de sucesiones aritméticas}\\&\\&\sum_{i=1}^ni= \frac{n(1+n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}\\&\\&=3·\lim_{n\to \infty} \left(4-\frac 6{n^2}·\frac{n^2+n}{2}\right)=\\&\\&3·\lim_{n\to \infty} \left(4-3-\frac 3n  \right)=3·1=3\end{align}$$

Y he comprobado que coincide con el valor de la integral, luego está bien.