Resolver la siguiente ecuación diferencial: y'' + y' - 2y= 2x - 40cos2x

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¡Hola Oli!

Primero resolvemos la ecuación homogénea mediante la ecuación característica.

$$\begin{align}&k^2 + k - 2 = 0\\&\\&(k+2)(k-1) = 0\\&\\&\text{¡Bien!  Son dos raíces reales distintas, -2 y 1}\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{gh} = C_1·e^{-2x} + C_2e^{x}\\&\\&\text{Como solución particular se ensaya con}\\&\text{P(x) de grado 1, ax + b para lograr 2x}\\&c· \cos 2x+d\,sen\,2x \text { para lograr }-40 \cos 2x\\&\\&y_p=ax+b+c· \cos 2x + d·sen\,2x\\&y'_p=a -2c·sen 2x + 2d·\cos 2x\\&y''_p=-4c·\cos 2x-4d\, sen\,2x\\&\\&\text{sustituyendo}\\&-4c·\cos \,2x-4d\, sen\,2x+\\&+a -2c·sen 2x + 2d·\cos 2x +\\&-2(ax+b+c· \cos 2x + d·sen\,2x)=2x-40 \cos 2x\\&\\&a-2b-2ax+(-4c+2d-2c)\cos 2x+\\&+(-4d-2c-2d)sen\,2x=2x-40 \cos 2x\\&\\&\text{Se deduce}\\&a-2b=0\\&-2a=2\implies a=-1\implies b=\frac a2=-\frac 12\\&\\&-6c+2d=-40\\&-2c-6d = 0\\&\\&\text{Sumamos a la segunda la primera por 3}\\&\\&-20c =-120\implies c=6\implies d=-\frac c3=-2\\&\\&\text{Luego la solución general de la completa es}\\&\\&y = C_1·e^{-2x} + C_2e^{x}-x -\frac 12+6 \cos 2x-2sen\,2x\end{align}$$

Y eso es todo, he verificado que está bien.

Saludos.

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