Resolver el siguiente ejercicio de calculo integral
La indicación dice que hay que resolver el siguiente problema usando la aplicación de métodos de integración y después dice que usando la aplicación de integrales definidas hay que resolver la misma integral pero según el intervalo dado.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Andrea!
Resolveremos la integral por partes, aplicándolo dos veces:
$$\begin{align}&\text{La fórmula es:}\\&\int u\;dv=uv-\int{v\;du}\\&\\&\\&\int(x^2+1)e^{-x}dx=\\&\\&u=x^2+1\qquad du =2x\\&dv=e^{-x}dx\qquad v=-e^{-x}\\&\\&=-(x^2+1)e^{-x}+\int 2xe^{-x}dx=\\&\\&u=2x\qquad \qquad du = 2 \,dx\\&dv=e^{-x}dx\qquad v=-e^{-x}\\&\\&=-(x^2+1)e^{-x}-2xe^{-x}+\int 2{e^{-x}}\,dx=\\&\\&-(x^2+1)e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C=\\&\\&(-x^2-1-2x-2)e^{-x}+C=\\&\\&-(x^2+2x+3)e^{-x}+C\\&\\&\text{Y ahora la aplicamos al intervalo [0,1]}\\&\text{por el segundo teorema fundamental del cálculo}\\&\text{La C la puedes poner o no, a tu gusto y del profe}\\&\\&\text{Llamamos }F(x)=-(x^2+2x+3)e^{-x}\\&\\&\text{entonces}\\&\\&\int_0^1(x^2+1)e^{-x} dx = F(1)-F(0)=\\&\\&-(1^2+2·1+3)e^{-1}-\left[-(0^2+2·0+3)e^{-0} \right]=\\&\\&-(1+2+3)e^{-1}+3e^0=\\&\\&-6e^{-1}+3= 3-\frac 6e\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas enendido.
Saludos.
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