Teorema de existencia y unicidad (dudas de como resolver)
Estoy en el estudio de derivadas parciales y me topo con este Teorema de existencia y unicidad la cuestión esta en que la teoría que me aporta mi documento es a mi parecer, mínima ya busque vídeos y mas aportes pero no encuentro algo conciso y me pide lo siguiente:
Si bien no espero que me resuelvan todos espero me ayuden con uno y me digan que tengo que hacer
2 Respuestas
;)
Hola Brenda!
Dicho Teorema asegura la existencia de la solución única de la ecuación diferencial
Si f(x, y) y df/dy son contínuas en un rectángulo R del plano que contiene el punto (x_o, y_o)
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\&\\&\frac{\partial f}{\partial y}=f_y\\&\\&a)\\& \\&\frac{dy}{dx}=3 \sqrt y\\&\\&f(x,y)=3 \sqrt y\\&está \ definida \forall x; y\geq0\\&\\&f_y=\frac{3}{2 \sqrt y}\\&\\&definida \ si \ y >0\end{align}$$Luego no cumple las condiciones en el punto (0,0) y no podemos asegurar que tenga solución única en (0,0)
$$\begin{align}&b)\\&\frac{dy}{dx}=\frac{3y}{x-2y}\\&\\&f(x,y)=\frac{3y}{x-2y}\\&no \ es \ contínua \ en (0,0)\\&\\&f_y=\frac{3(x-2y)-2(3y)}{(x-2y)^2}=\frac{3x-12y}{(x-2y)^2}\\&no \ definida \ en (0,0)\\&El \ punto (2,1) \ si \ cumple \ las \ condiciones del \ Teorema: hay \ una \ solución\\&\\&c) \\&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y+3}\\&no \ es \ contínua \ en \ y=-3\\&f_y=\frac{-1}{(y+3)^2}\\&no \ es \ contínua \ en \ y=-3\\&(0,0) Si cumple \ las condiciones\\&\\&\end{align}$$Saludos
;)
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Buenas tardes, en el inciso b al decir que nos es continua en (0,0), es por que tomo usted un punto al azar? y en y(2)=1; que quiere decir?
;)
Hola brenda!
En el apartado b) me confundí y tomé el (0,0) donde la funciones no es continua ya que si lo sustituyes en el denominador x-2y da 0 y no se puede hacer la división.
El punto y(2)=1 quiere decir el punto (2,1) que si lo sustituyes también da cero en el denominador:
$$\begin{align}&\frac{3y}{x-2y}=\frac{3}{2-2(1)}=\frac{3}{0}\end{align}$$Luego tampoco cumple el Teorema de existencia
Saludos
A pesar del error votar excelente por la dedicación estaría mejor, sobre todo para seguir respondiendo tus preguntas con más motivación.
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¡Hola Brenda!
Hay muchos teoremas de existencia y unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero yo creo que estarás estudiando el más sencillo que pide que haya un rectángulo conteniendo al punto (xo, yo) donde la función f(x, y) = dy/dx sea continua y su derivada parcial respecto de y también. Entonces se garantiza que hay un intervalo I conteniendo a (xo, yo) dentro del cual hay una solución única. Aquí lo tienes todo muy bien explicado
https://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.wordpress.com/teorema-de-existencia-y-unicidad/
a)
$$\begin{align}&a) \\&f(x,y)=3y^{\frac 12} \quad \text{ es continua en todo }\mathbb R\times \mathbb R\\&\\&f_y(x,y)=\frac 32y^{-\frac 12}= \frac{3}{2 \sqrt y}\\&\\&\text{es discontinua en (0,0), luego no puede haber}\\&\text{un rectangulo que contenga (0,0) donde sea}\\&\text{continua. }\\&\\&\text{Luego no se puede asegurar.}\\&\\&\\&b)\\&\\&f(x,y)=\frac{3y}{x-2y}\\&\\&\text{En el punto (2,1) no es continua }\\&\\&f(2,1)=\frac{3·1}{2-2·1}=\frac{3}{0}\\&\\&\text{Luego no cumple el teorema}\\&\\&\\&c)\\&\\&f(x,y) = \frac{1}{y+3}\\&\\&f_y(x,y)=-\frac{1}{(y+3)^2}\\&\\&\text{Ambas son continuas en(0,0) }\\&\text{solo son discontinuas cuando y=3}\\&\\&\text{podemos tomar por ejemplo el rectángulo}\\& [-1,1] x [-1,1]\\&\text{donde son continuas y contiene a (0,0)}\\&\\&\text{se cumple el teorema}\\&\\&\\&d) \\&f(x,y)=\sqrt{x+y}\\&\\&f_y(x,y)=\frac{1}{2 \sqrt{x+y}}\\&\\&\text{ambas continuas en (0,1)}\\&\\&\text{Podemos tomar el rectángulo}\\&\left[-\frac 14, \frac 14 \right]\times\left[\frac 12 , \frac 32 \right]\\&\\&\text{donde las dos funciones son continuas}\\&ya\;que\;x+y \ge \frac 14\gt 0\\&\\&\text{luego cumple el teorema}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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