Quisiera saber si esta bien desarrollado mi ejercicio.

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¡Hola Ignacio!

Al empezar ya veo un fallo de notación aunque no tiene consecuencias en el resultado

$$\begin{align}&f(-3) = (-3)^3+4(-3)+4\end{align}$$

no pasa nada porque

(-3)^3 = (-3)(-3)(-3) = -27

-3^3 = -(3·3·3) = -27

pero si hubiera sido un cuadrado ya no sería lo mismo

(-2)^2 = (-2)(-2) = 4

-2^2 = -(2·2) = -4

Luego en esa línea debes poner lo que realmente es, poner el primer -3 entre paréntesis.

En la siguiente línea has escrito un 6 en lugar de un 4

f(-3) = -27 + 12 + 6 0 = -11

y es

f(-3) = -27 + 12 + 4 = -11

aunque es de nuevo un fallo que no interviene en el resultado.

Luego, los cálculos que haces de f(-2) y f(-1) no hacen falta, tienes que quitarlos.

El que sí se necesita es el de f(0) que lo tienes bien calculado

f(0) = 4

Y una vez calculado f(-3) y f(0) se aplica el teorema de Bolzano que dice:

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en a y b, entonces existe un punto c  en el intervalo abierto (a, b) tal f(c) = 0

Tu tienes la función f(x)=x^3-4x+4 que es continua en todo R, todos los polinomios lo son. Luego en particular es continua en el intervalo

[-3, 0]

y

f(-3) = -11  < 0

f(0) = 4 >0

toma signos contrarios en f(-3) y f(0)

Aplicando el teorema existe un punto c en (-3, 0) tal que f(c)=0

Y eso es todo.

Saludos.

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