Como se resuelve un ejercicio con condiciones iniciales (Transformada de Laplace)

·

·

¡Hola Marco!

Estos ejercicios solo se responde uno por pregunta, haré el primero y manda los que quieras pero siempre uno solo en cada pregunta.

Hacemos la transformada en ambos miembros de la ecuación:

$$\begin{align}&\mathscr L\{ y'+6y\}=\mathscr L\{e^{4t}\}\\&\\&\text{de acuerdo a las propiedades de la transformada}\\&\\&s·\mathscr L\{y\}-y(0)+6·\mathscr L\{y\}=\frac{1}{s-4}\\&\\&s·\mathscr L\{y\}-2+6·\mathscr L\{y\}=\frac{1}{s-4}\\&\\&(s+6)\mathscr L\{y\}= \frac{1}{s-4}+2\\&\\&\mathscr L\{y\}= \frac{1}{(s-4)(s+6)} + \frac 2{s+6}\\&\\&\text{descomponemos en fracciones simples el primer término}\\&\\&\frac a{s-4}+\frac{b}{s+6}=\frac{as+6a+bs-4b}{(s-4)(s+6)}\\&\\&(a+b)s+6a-4b=1\\&a+b=0\implies b=-a\\&6a-4b=1\implies 6a+4a=1\implies \\&a=\frac 1{10}\implies b=-\frac 1{10}\\&\\&\mathscr L\{y\}=\frac 1{10}·\frac{1}{s-4}-\frac 1{10}·\frac{1}{s+6}+2 \frac{1}{s+6}\\&\\&\mathscr L\{y\} =\frac 1{10}·\frac{1}{s-4}+\frac {19}{10}·\frac{1}{s+6}\\&\\&\text{Y ahora calculamos la inversa de la transformada}\\&\\&y = \frac 1{10}e^{4t}+\frac{19}{10}e^{-6t}\end{align}$$

:
:

¡Gracias! Enviaré el otro en una nueva pregunta! 

Perdón en que momento entran las condiciones y(0)=2

En la tercera línea ya tienes un

- y(0)

Que en la cuarta está sustituido con

- 2

En los siguientes enlaces encontrarás la respuesta:

http://www.buenastareas.com/materias/ejercicios-transformada-de-laplace-resueltos-paso-apaso/0 

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_inversa_de_Laplace 

http://www.monografias.com/trabajos33/laplace-ejercicios/laplace-ejercicios.shtml 

Saludos y por aquí siempre a tus órdenes.