Observando todas las preguntas me parece observar cierta mezcla de matemáticas y filosofía lo que intentaré tratar con cautela.
Contestando a tu primera pregunta, de si un axioma es indudable la respuesta debe ser que sí puesto que esa es la principal caracteríestica que lo define. Podría decirse que el axioma es prisionero de su condición, es decir, no puede no cumplirse y por esa razón no tiene sentido dudar de él. Es importante observar que al ser una verdad primera, el ponerla en cuestión pone también en cuestión toda verdad que dependa de ella y por ende todo sistema, lo cual podría tener dos efectos, mientras en un plano creativo sería ideal, en un plano cotidiano de la vida podría resultar catastrófico.
En tu segunda pregunta sobre porqué no hay verdad indudable, no es que no la haya es que no debe haberla por principio, pues la libertad de pensamiento es fundamental para acceder a nuevos conceptos, es necesario despojarse de todo lo establecido y caer en lo absurdo para de la nada poder crear, incluso, la mayor creación lógica. Hay que considerar el hecho de que todo lo creado o establecido por el ser humano lo es bajo su propia lógica y que es su natural inclinación al dominio lo que le atribuye el carácter de único y universal. Dicho de otra manera, el ser humano no podría razonar algo que escapara a su lógica, no podría justificar y menos aún idear un sistema que su cerebro no pudiera razonar y comprender.
Los axiomas, como tantas otras cosas, son suposiciones que terminan en verdad. Esto ocurre debido a que son conceptos que se adaptan a la comprensión del cerebro humano y que pueden cumplir una función o propósito para el ser humano. Para conseguir el propósito deben cumplirse los límites o condiciones que define el axioma, que serán aquellos dentro de los cuales el axioma funciona (para nuestro entendimiento).
Por ejemplo, el axioma más evidente que podríamos proponer X=X necesita de límites o condiciones para que se cumpla. De no existir estos límites podríamos empezar por preguntarnos si la propia igualdad tal como se plantea es posible, pues X a la izquierda de la igualdad nunca podría ser igual a X a la derecha de la igualdad por el hecho de ocupar distinto lugar. Al resolver esta duda y otras llegaríamos a establecer el concepto de igualdad que estamos tratando. También limitaríamos los elementos que podrían ser sometidos a esta igualdad, lo que iría ocurriendo con el resto de posibles dudas hasta que llegaríamos a definir el axioma.
Los axiomas resulven situaciones prácticas pero el ser humano tiene otras necesidades para las que no hay axiomas lo que le obliga a aprender a vivir con la falta de respuestas para lo que no sabe aunque se lo pregunte, eso es la filosofía.
De acuerdo en tus comentarios. Yo basé mis argumentos apoyándome en la interpretación kantiana, sobre todo, por la cual la fundamentación a priori se puede pensar pero no conocer, pero también me parece totalmente acertada tu explicación. - ravenex