¿Cómo se resuelven problemas con implicación de calculo?
- Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de 3m² / min ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de 10m?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Ignacio!
Consideraremos el volumen como función del diámetro y el diámetro como función del tiempo.
Primero se calcula el volumen como función de t que es sencillo
V(t) = 3t
Con t en minutos y V en m^3
Y la derivada es bien sencilla también
dV/dt = 3
Ahora ponemos el volumen como función del diámetro aplicando la fórmula del volumen de la esfera
V(d) = (4/3)Pi (d/2)^3
Ahora derivamos esto respecto a t teniendo en cuenta que d es una función del tiempo.
$$\begin{align}&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dd}·\frac{dd}{dt}=\\& \\& \frac 43\pi·3 \left(\frac d2\right)^2·\frac 12·\frac {dd}{dt}=\\& \\& \frac {\pi d^2}{2}·\frac{dd}{dt}\\& \\& luego\\& \\& \frac{dd}{dt}=\frac{dV}{dt}·\frac{2}{\pi d^2}\\& \\& \text{como }\frac{dV}{dt}= 3\\& \\& \frac{dd}{dt}=\frac{6}{\pi d^2}\\& \\& \text{y la derivada cuando d= 10 será}\\& \\& \left. \frac{dd}{dt}\right|_{d=10}=\frac{6}{\pi·10^2}=\frac{3}{50\pi}\end{align}$$:
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