Encontrar intervalos donde f es creciente, decreciente, ¿Los puntos críticos y elaborar gráfica?

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¡Hola Nacho!

Los puntos críticos aquellos donde la derivada no existe o aquellos donde vale 0.

$$\begin{align}&f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}\\&\\&f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-x^2·2x}{(x^2-4)^2}=\\&\\&\frac{3x^2-8x-3x^2}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}=0\\&\\&\text{La derivada es 0 en }x=0\\&\text{La derivada no existe cuando}\\&\\&x^2-4=0\\&x^2=4\\&x=\pm 2\\&\text{Luego los punto criticos son }\{-2, 0, 2\}\\&\\&\text{Tomemos un punto de cada intervalo y calculamos la derivada}\\&\\&f'(-3)=\frac{-8(-3)}{[(-3)^2-4]^2}=\frac {24}{25}\\&f'(-1)=\frac{-8(-1)}{algo\; positivo}=\frac{8}{algo\;positivo}\\&f'(1)=\frac{-8}{positivo}\\&f(3)=\frac{-24}{positivo}\\&\\&\text{LUego los intervalos son}\\&\\&(-\infty,-2)\quad creciente\\&(-2,0)\qquad creciente\\&(0,2)\qquad\;\; decreciente\\&(2,\infty)\qquad decreciente\end{align}$$

A lo mejor te preguntas porque no he encadenado los intervalos.  No los he encadenado porque en -2 y 2 no existe la función.

Como curiosidad, el punto crítico (0,0) es un máximo relativo porque justo antes la función crece y después decrece.

Y eso es todo, saludos.

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;)

Hola Nacho!
Observando la gráfica alli tienes losintervalos:

(-infinito,-2)  f'(-10)>0  ==> creciente

(-2, 0)    f'(_1)>0  ==> creciente

(0,2)    f'(1) <0 ==> decreciente

(2,+infinito)   f'(10)>0    ===>decreciente

;)

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