Determine la rapidez del bloque
Conservación de la energía
3. El resorte de la figura está apoyado sobre la superficie horizontal y tiene su extremo derecho asegurado a la pared. Su constante elástica vale 128 N/m. El bloque tiene masa 0.815 kg y es lanzado hacia el resorte, apoyado en la superficie, con rapidez𝑣𝐴 = 2.83 m/s. Todas las superficies en contacto carecen de rozamiento.
(a) Determine la rapidez del bloque cuando está pasando por la posición B, donde la compresión del resorte vale𝑥𝐵 = 0.158 m.
(b) Determine la máxima compresión que el bloque produce en el resorte (esta posición está
marcada C en la figura;𝑥¿max =? )
(c) Determine la rapidez del bloque después de que ha vuelto a perder contacto con el resorte (posición D en la figura).
(d) La figura usa un eje X horizontal, positivo hacia la derecha, que corre
a lo largo del eje del resorte. El origen𝑥 = 0 está ubicado en el punto del extremo izquierdo del resorte no deformado, como lo muestra la primera subfigura. Para la coordenada𝑥 del bloque, use su cara frontal (la del lado del resorte). El contacto entre bloque y resorte comienza entonces en la coordenada𝑥 = 0 . Si la coordenada𝑥 del bloque en las posiciones A y D es −0.500 m, trace una gráfica cuantitativa (ejes marcados numéricamente) de la rapidez del bloque contra su posición (𝑣 en el eje Y,𝑥 en el eje X). La gráfica debe cubrir todo el movimiento
del bloque desde A hasta D.
1 Respuesta
El ejercicio se resuelve aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, teniendo en cuenta que la energía potencial gravitatoria no varía por ser la pista es horizontal (altura constante --> energía potencial gravitatoria constante). Además de la energía cinética del bloque tenemos que tener en cuenta la energía potencial elástica del resorte.
a)
Tomando como origen de alturas la altura de la superficie, la Ep Es nula:
EA = EpA + EcA = 0 + (1/2) · 0,815· 2,83^2 = 3,264 J
En B el bloque se sigue moviendo mientras comprime el resorte, que adquiere una energía potencial elástica Er, que vale (1/2)kx^2:
EB = EpB + EcB + Er = 0 + (1/2) · 0,815 · vB^2 + (1/2) · 128 · 0,158^2
El principio de conservación exige que EA = EB:
3,264 = 0,408 · vB^2 + 1,598
vB = 2,021 m/s
b)
La máxima compresión se da cuando el bloque cede toda su energía al resorte, quedando en ese instante con velocidad nula (ya no escribo las energías potenciales gravitatorias, que por no variar no influyen):
EcA = EcC + E(resorte)
3,264 = 0 + (1/2) · 128 · x(máx)^2
x(máx) = 0,226 m
c) A partir de este punto, el resorte comienza a ceder de nuevo su energía al bloque, aumentando éste su velocidad hacia la izquierda. La máxima velocidad la alcanza el bloque cuando pasa por la posición de equilibrio del resorte; en ese instante el resorte tiene energía potencial elástica nula y toda la energía del bloque es cinética. El principio de conservación exige de nuevo que la energía se conserve, luego la velocidad que alcanza el bloque ha de ser la misma que tenía al principio.
vD = 2,83 m/s
Olvidé el apartado d).
Este debes hacerlo tú; para diferentes posiciones del bloque, calcula su velocidad tal como se hizo en los apartados anteriores y representa la gráfica v-x, teniendo en cuenta que entre -0,500 y 0 m (según el esquema propuesto), la velocidad es constante y será un segmento de recta paralelo al eje de abscisas, con la diferencia de que cuando inicialmente se mueve hacia la derecha el tramo de la gráfica está en ordenadas positivas, y cuando regresa hacia la izquierda, en ordenadas negativas. Durante la compresión, la gráfica es un tramo recto desde la ordenada 2,83 hasta 0 m/s, y luego, durante la recuperación del resorte, desde 0 hasta -2,83 m/s.
