Simplfica y opera el siguiente ejercicio

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¡Hola Mery!

Descomponemos en factores los polinomios por si hubiera factores simplificables

$$\begin{align}&\left(\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}-\frac{x-1}{(x-2)(x+1)}\right)\div \frac{x}{(x+2)(x-2)}=\\&\\&\text{En la resta de fracciones no hubo suerte, se restan}\\&\text{por el producto en cruz}\\&\\&\left(\frac{(x+1)^2(x-2)-(x-1)^2(x+2)}{(x+2)(x-1)(x-2)(x+1)}\right)\div \frac{x}{(x+2)(x-2)}=\\&\\&\text{En la división de fracciones se simplifican numerador}\\&\text{con numerador y denominador con denominador}\\&\\&\left(\frac{(x+1)^2(x-2)-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x+1)}\right)\div \frac{x}{1}=\\&\\&\frac{(x+1)^2(x-2)-(x-1)^2(x+2)}{x(x-1)(x+1)}=\\&\\&\text{Esto da la impresión que se podrá simplificar}\\&\\&\frac{(x^2+2x+1)(x-2)-(x^2-2x+1)(x+2)}{x(x-1)(x+1)}=\\&\\&\frac{(x^2+1)(x-2-x-2)+2x(x-2+x+2)}{x(x-1)(x+1)}=\\&\\&\frac{(x^2+1)(-4)+2x·(2x)}{x(x-1)(x+1)}=\\&\\&\frac{-4x^2-4+4x^2}{x(x-1)(x+1)}= \frac{-4}{x(x-1)(x+1)}=\frac{-4}{x^3-x}\\&\end{align}$$

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Para sumar y restar fracciones has de buscar el denominador común (m.c.m de los polinomios). Para ello los has de factorizar.

Aquí es muy fácil ya que son los dos polinomios de segundo grado. Buscas sus raíces ax^2+bx+c=0

y se factorizan (x-r)(x-s)

Donde r y s son las raíces:

Una vezhecho esto, queda:

$$\begin{align}&\Bigg  [\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}- \frac{x-1}{(x+1)(x-2)} \Bigg]:\frac{x}{(x+2)(x-2)}=\\&\\&\Bigg[ \frac {(x+1)^2(x-2)-(x-1)^2(x+2)}{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2) }\Bigg]·\frac{(x+2)(x-2)}{x}=\\&\\&simplificando\\&\\&\frac{(x+1)^2(x-2)-(x-1)^2(x+2)}{(x+1)(x-1)x}=\\&\\&operando\\&\frac{(x^2+2x+1)(x-2)-(x^2-2x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)x}=\\&\\&\frac{x^3-2x^2+2x^2-4x+x-2-(x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2)}{(x+1)(x-1)x}=\\&\frac{-4}{(x^2-1)x}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

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Estimada Mery: A continuación te coloco estos enlaces que te serán de utilidad:

https://www.youtube.com/watch?v=f2LUuzfVHbQ 

http://www.vadenumeros.es/cuarto/ejercicios-resueltos-algebraicas.htm 

http://matematicasrcpsecundaria.blogspot.com/2011/05/polinomios-y-fracciones-algebraicas.html