Resuelve la siguiente inecuación,expresando la solución en forma de intervalo
Por favor necesito ayuda con este ejercicio de matemáticas
4 Respuestas
;)
Las inecuaciones con fracciones, el método más sencillo de resolución es dejando el segundo miembro a cero, ya que así el problema se traduce a estudiar el signo de una fracción:
$$\begin{align}&\frac{3x^2+2x-4}{x^2-1} \geq 3\\&\\&trasponiendo:\\&\\&\frac{3x^2+2x-4}{x^2-1} -3\geq 0\\&\\&operando:\\&\frac{3x^2+2x-4-3x^2+3}{x^2-1} \geq 0\\&\\&\frac{+2x-1}{x^2-1} \geq 0\\&\\&creamos \ los \ intervalos \ de \ signo, \ buscando \ las \ raíces \ del \ numerador y \ denominador:\\&\\&2x-1=0 \\&x=\frac{1}{2}\\&\\&x^2-1=0\\&x=\pm1\\&\\&ordenamos \ de \ menor \ a \ mayor.Como \ hay \tres\ raíces \ tenemos \ cuatro \ intervalos:\\&(-\infty,-1)\\&(-1, \frac{1}{2})\\&(\frac{1}{2},1)\\&(1, +\infty)\\&Estudiamos \ el \ signo \ del \ intervalo \ provando \ un \ valor \ cualquiera \ del \ interior:\\&(-\infty,-1)\rightarrow F(-10)=\frac{-21}{99}<0 (NO\\&\\&(-1, \frac{1}{2}) \rightarrow F(0)=\frac{-1}{-1}>0 \ (SI)\\&\\&(\frac{1}{2},1) \Rightarrow F(0.6)=\frac{1.2-1}{0.36-1}=\frac{+}{-}<0 No\\&\\&(1, +\infty)F(10)=\frac{+}{+}>0 (SI)\\&Solución=(-1, \frac{1}{2}\Bigg] \cup (1,+\infty)\\&\\&\\&\end{align}$$el 1/2 es intervalo cerrado (corchete) porque si está incluido en la solución.
Los valores que anulan un denominador, el 1 y el -1 no pueden estar incluidos porque no se puede dividir por cero.
Saludos
;)
;)
Hay varias formas de despejar la incógnita, yo voy a usar una
$$\begin{align}&\frac{3x^2+2x-4}{x^2-1} \ge 3\\&\frac{3x^2+2x-4}{x^2-1} - 3\ge 0\\&\frac{3x^2+2x-4 - 3(x^2-1)}{x^2-1} \ge 0\\&\frac{3x^2+2x-4 - 3x^2+3}{x^2-1} \ge 0\\&\frac{2x-1}{x^2-1} \ge 0\\&\text{Veamos cuando númerador y denominador se hacen cero, para analizar cada intervalo}\\&2x-1 = 0 \to x = \frac{1}{2}\\&x^2-1=0 \to \text{ (dif de cuadrados)} x = -1 \lor x = 1\\&\text{O sea que tenemos para analizar 4 intervalos que son:}\\&(-\infty,-1), (-1,\frac{1}{2}), (\frac{1}{2},1),(1,+\infty)\\&\text{Elijamos un punto cualquiera en cada intervalo y veamos que pasa (solo me fijaré en el signo de la expresión porque la inecuación es contra cero}\\&x = -2 \to \frac{2x-1}{x^2-1} = \frac{-}{+} =- \text{ No cumple}\\&x = 0 \to \frac{2x-1}{x^2-1} = \frac{-}{-} =+ \text{ Cumple}\\&x = \frac{3}{4} \to \frac{2x-1}{x^2-1} = \frac{+}{-} =- \text{ No cumple}\\&x = 2 \to \frac{2x-1}{x^2-1} = \frac{+}{+} =+ \text{ Cumple}\\&\text{Además vemos que x=}\frac{1}{2} \text{ cumple la igualdad, por lo tanto las soluciones son:}\\&x \in (-1,\frac{1}{2}] \cup (1,+\infty)\\&\\&\\&\end{align}$$
Estimada Mery: Te dejo aquí unos enlaces para que te sirvan de apoyo para resolverlo:
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/Abs_Ineq/abs_ineq_home.html
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¡Hola Mery!
$$\begin{align}&\frac{3x^2+2x-4}{x^2-1}\ge 3\\&\\&\\&\frac{3x^2+2x-4}{x^2-1}-3\ge 0\\&\\&\frac{3x^2+2x-4-3x^2+3}{x^2-1}\ge 0\\&\\&\frac{2x-1}{x^2-1}\ge 0\\&\\&\text{los puntos donde puede cambiar el signo son}\\&\\&2x-1=0\implies x=\frac 12\\&x^2-1=0\implies x\pm 1\\&\\&\text{luego por orden son }-1,\frac 12 ,1\\&\text{Numerador negativo hasta }\frac 12, \text{ positivo después}\\&\text{Denominador positivo en los extremos, negativo e n(-1,1)}\\&\\&\text{Y el signo de } \frac{2x-1}{x^2-1}, \text{ que debe ser positivo, es}\\&\\&(-\infty,-1)\implies \frac{-}{+}=- \implies \text{ No sirve}\\&\\&\left(-1,\frac 12\right)\implies \frac{-}{-}=+\implies \text{Sirve}\\&\\&\left(\frac 12, 1\right)\implies \frac{+}{-}\implies \text{No sirve}\\&\\&(1,\infty)\implies \frac ++=+\implies \text{ Sirve}\\&\\&\text{Y el punto x=1/2 también sirve}\\&\\&\text{Luego la solución es}\\&\\&S=\left(-1,\frac 12\right]\cup(1,\infty)\end{align}$$:
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Mery, la proxima vez te contestaremos con vídeos o no te contestaremos. Haz el favor de quitarle los votos a Jorge Herrera que no aporta nada en esta página, aun no ha resuelto ni un solo problema. ¿Te gustaría que todos te respondiéramos de la forma que él? Pues no ofendas a los que de verdad trabajamos.
Además, con ese paupérrimo vídeo que ha puesto es imposible que llegues a solucionar la inecuación esta.
Yo ya te he puesto en una lista negra, he creado el fichero "Lista Negra Herrera" y ya van siete que se lo pierden. Es una vergüenza que estando aquí los tres expertos mejores que te vamos a resolver los problemas de verdad, le hayas dado puntos a Herrera y además tantos como a nosotros. Mientras no le quites esos puntos yo no te contestaré más e invito a Lucas y Gustavo a que no lo hagan.