Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial

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¡Hola Juan David!

Es una ecuación lineal homogénea. Eso se ve porque todos los términos tienen grado 2 si sumas los exponentes de la x y la y.

$$\begin{align}&(x^2+2y^2)\frac {dy}{dx}-xy=0\\&\\&(x^2+2y^2)\frac {dy}{dx}=xy\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^2+2y^2}\\&\\&\text{y puedes comprobar que}\\&f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda x·\lambda y}{(\lambda x)^2+2(\lambda y)^2}=\frac{xy}{x^2+2y^2}=f(x,y)\\&\text{luego es homogénea}\\&\\&\text{El cambio es }\\&y=ux\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}·x+u\\&\\&\frac{du}{dx}·x+u =\frac{x(ux)}{x^2+2(ux)^2}=\frac{u}{1+2u^2}\\&\\&\frac{du}{dx}·x =\frac{u}{1+2u^2}-u=\frac{u-u-2u^3}{1+2u^2}\\&\\&\frac{du}{dx}·x =-\frac{2u^3}{1+2u^2}\\&\\&\frac{1+2u^2}{2u^3}du= -\frac {dx}x\\&\\&\int \frac{1+2u^2}{2u^3}du= \int-\frac {dx}x\\&\\&\int\left(\frac 12u^{-3}+\frac 1u  \right)du =-ln\,x + C\\&\\&-\frac{u^{-2}}4+ln u=-ln\,x+C\\&\\&ln u-\frac{1}{4u^2}=-ln\, x+C\\&\\&ln \frac yx - \frac{x^2}{4y^2}=-ln\,x+C\\&\\&ln\,y- ln\,x-\frac{x^2}{4y^2}=-ln\,x+C\\&\\&ln\,y-\frac{x^2}{4y^2}=C\\&\\&\text{Para que }y(-1)=1\\&\\&ln1 -\frac{1}{4}=C\implies C=-\frac 14\\&\\&ln\,y-\frac{x^2}{4y^2}= -\frac 14\\&\\&\end{align}$$

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