Un motociclista se mueve con una aceleración constante
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2 respuestas
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¡Ho_la Juan David!
Los físicos están siempre arrastrando las unidades, cosa que los matemáticos detestamos, pero puede hacerse, no hay problema.
La fórmula de la velocidad para el movimiento uniformemente acelerado es:
$$\begin{align}&v(t)=at+v_0\\&\\&\text{Y la de la posición es}\\&\\&x(t)=\frac 12at^2+v_0t +x_0\\&\\&\text{en este caso hacemos }x_0=0\\&\\&\text{sustituyendo los datos que nos dan}\\&\\&30m/s = 2m/s^2·t + v_0\\&\\&200m=\frac 12·2m/s^2·t^2+v_ot\\&\\&\text{hay dos incógnitas: t y }v_0\\&\text{lo mejor es despejar }v_0 \text{ en la primera}\\&\\&v_0=30m/s - 2m/s^2·t \\&\\&\text{y llevarlo a la segunda}\\&\\&200m=\frac 12·2m/s^2·t^2+(30m/s - 2m/s^2·t )t\\&\\&200=t^2/s^2+30t/s-2t^2/s^2\\&\\&200=-t^2/s^2+30t/s\\&\\&t^2/s^2-30t/s+200=0\\&\\&\text{Es una ecuación de segundo grado}\\&\\&t=\frac{\frac {30}{s}\pm \sqrt{\frac {900}{s^2}-\frac{800}{s^2}}}{\frac 2{s^2}}=\frac{\frac{30}{s}\pm \frac {10}s}{\frac 2s^2}=10s\quad y \quad 20 s\\&\\&v_{0}=30m/s -2m/s^2·t = \\&v_{01}=30m/s-20m/s=10m/s\\&v_{02}=30m/s-40m/s = -10m/s\end{align}$$El sentido común manda que la moto empezó a 10m/s y tardó 10s
Ya que si hubiera empezado a -10m/s y tardado 20s sí que estaría a 200m del punto de partida, pero el espacio recorrido habría sido más ya que dio la vuelta sobre si mismo después de ir hacia atrás.
Luego resumiendo.
A) 10m/s
B) 10s
:
:
Las fórmulas asociadas con este tipo de moviento son:
x(t) = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2
y la velocidad que es la derivada del desplazamiento (x'(t)) es:
v(t) = v_0 + a t
Podemos definir x_0 = 0, y sabemos que a es 2 m/s^2, por lo que las ecuaciones quedan:
x(t) = v_0 t + t^2
v(t) = v_0 + 2 t
Sabemos que cuando recorre 200m, su velocidad es 30m/s, así que vamos a depejar y ver a que llegamos
200 = v_0 t + t^2
30 = v_0 + 2 t
multiplico la segunda ecuación por t
30t = v_0 t + 2 t^2
y lo resto con la primera
30t - 200 = t^2
Planteando la cuadrática t^2 - 30t + 200 = 0
cuyas soluciones son:
t_1 = 15s (esta es la respuesta a la pregunta b)
t_2 = -25s (esta solución no tiene sentido "físico" para el problema)
usando el tiempo calculado en cualquiera de las ecuaciones, calculo v_0
30 = v_0 + 2*15
v_0 = 0m/s (o sea que partió del reposo)
Disculpas, resolví mal la cuadrática :(
Las soluciones son (posibles soluciones al punto b)
t_1 = 10s
t_2 = 20s
Veamos que pasa en cada caso
Caso t=10s
30 = v_0 + 2 * 10
v_0 = 30 - 20 = 10 m/s
Caso t=20s
30 = v_0 + 2*20
V_0 = 30 - 40 = - 10 m/s (si fuese este caso, diría que se estaba moviendo en sentido contrario al inicio, lo que no parece ser muy razonable, lo más lógico es suponer que la velocidad inicial era 10 m/s y por lo tanto tarda 10 s en recorrer la distancia)