Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de las integrales
(Integrales inmediatas) y las diferentes técnicas o métodos de integración como integración inmediata con sustitución, integración por cambio de variable, integración por racionalización e integración por sustitución trigonométrica.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Juan David!
Integrales con cambio trigonométrico, con un ejercicio por pregunta es más que suficiente.
$$\begin{align}&\int \frac{x^3}{ \sqrt{1-x^2}}dx=\\&\\&x=sent\implies t=arc sen\, x\\&dx= \cos t\;dt\\&\\&=\int \frac{sen^3t}{\sqrt{1-sen^2t}}\cos t \;dt=\\&\\&\int \frac{sen^3t}{cost}cost\;dt=\\&\\&\int sen^3t\;dt=\\&\\&\int sen^2t\; sent\;dt=\\&\\&\int(1-\cos^2t)sen\,t \;dt=\\&\\&u=\cos t\\&du=-sen\, t\;dt \implies sen\,t \;dt=-du\\&\\&=-\int(1-u^2)du=-u+\frac{u^3}{3}+C=\\&\\&-cost + \frac{\cos^3t}{3}+C=\\&\\&-\cos(arc sen \,x) + \frac{\cos^3(arc sen \,x)}{3}+C=\\&\\&-\cos(arc \cos \sqrt{1-x^2})+\frac{\cos^3(arc \cos \sqrt{1-x^2})}{3}+C=\\&\\&-\sqrt{1-x^2}+\frac{\sqrt{(1-x^2)^3}}{3}+C\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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cordial saludo experto Valero Angel, la presente es para agradecerle por sus valiosas respuestas se nota que sabe diademado y le agradezco de corazón por la solución de cada una de ellas
¡Gracias!
