Existen varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por sustitución trigonométrica

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¡Hola Juan David!

La primera se hce por cambio de variable, está bien claro.

$$\begin{align}&9)  \int \frac{dx}{\sqrt x(1+ \sqrt x)}=\\&\\&t=\sqrt x\\&dt=\frac{dx}{2 \sqrt x}\implies \frac{dx}{\sqrt x}=2\,dt\\&\\&\int \frac{2dt}{1+t}=2 ln|1+t|+C=2ln(1+\sqrt x)+C\\&\\&\end{align}$$

La segunda es complicadísima por cambio trigonométrico.  Si dices que se puede hacer con cambio hiperbólico mándala en otra pregunta y la resuelvo allí.

Y para la tercera hay que saber la técnica de integrar por partes dos veces par volver a la integral inicial y a partir de ello deducir el resultado.

$$\begin{align}&11)\\&\\&Sea\; I=\int e^x\,sen\,x\;dx=\\&\\&u=sen\,x\qquad du=\cos x\;dx\\&dv=e^x\;dx\qquad v=e^x\\&\\&=e^x\,sen\,x-\int e^x \cos x\;dx=\\&\\&u = \cos x\qquad du=-sen\,x\\&dv=e^x\;dx\qquad v=e^x\\&\\&e^x\,sen\,x-e^x \cos x-\int e^x sen\,x\;dx\\&\\&\text{Luego hemos llegado a}\\&\\&I=e^x(sen\,x- \cos x)-I\\&\\&2I=e^x(sen\,x- \cos x)\\&\\&I = \frac{e^x(sen\,x- \cos x)}{2}\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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