Cómo solucionar problema con diferenciales cantidad pintura
Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemiesférico que tiene un diámetro de 50 m.
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Lucas!
El volumen del domo será
$$\begin{align}&V_d(r)=\frac 23\pi r^3\\&\\&\text{Si le aplicamos una capa de pintura de grosor dr}\\&\text{el volumen del domo será:}\\&\\&V_d(r+h) = \frac 23\pi(r+dr)^3\\&\\&\text{El volumen de la pintura será}\\&\\&V_p(r,dr)=\frac{2}{3}\pi(r+dr)^3-\frac 23\pi r^3\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos por dr}\\&\\&V_p(r,dr)=\frac{\frac{2}{3}\pi(r+dr)^3-\frac 23\pi r^3}{dr}·dr\\&\\&\text{Cuando dr es "pequeño" esa fracción es}\\&\text{aproximadamente la derivada de V(r)}\\&\\&\text{Luego el volumen de pintura aproximado es}\\&\\&V_p(r,dr)=V'(r)\,dr= 2\pi r^2\,dr\\&\\&\text{Para}\\&r=25m\\&dr= 0.05cm = 0.0005m\\&\\&V(25m, 0.0005m) = 2\pi·625m^2·0.0005m=\frac {5\pi}8m^3\approx\\&\\& 1.963495408m^3\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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¡Gracias!
El procedimiento está bien, pero teóricamente a lo mejor habría que haberlo hecho de otra forma.
Se define diferencial como:
$$\begin{align}&dy =f'(x)\;dx\\&o \\&df(x,dx)=f'(x)\;dx\\&\\&\text{No se suele poner la variable dx, pero es una variable}\\&\text{de la cual depende la diferencial de la función}\\&\\&Siendo \\&\\&V(r)=\frac{2}{3}\pi r^3\\&\\&dV(r,dr)=2\pi r^2\;dr\\&\\&\text{Y esta es la parte principal del incremento del}\\&\text{volumen cuando se pasa de radio r a r+dr}\\&\text{y ese será el volumen aproximado de la pintura}\end{align}$$
Respuesta de albert buscapolos Ing°
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La superficie de la semiesfera = 2 pi 50^2 = 15707.95 m^2
Para usar diferenciales haces:
Si V= 2pi r^2
dV = 2 pi .2 r dr ....................dV = 12.566 x 25 m x 0.05 x 10^-2 m = 0.157 m^3 = 157 litros de pintura.
Lucas... perfecto el desarrollo del Profesor Valero... es el resultado correcto y yo cometí un error importante. - albert buscapolos Ing°