Ejercicio con transformada de Fourier
Estoy desarrollando un "fácil" ejercicio de transformada de la función: y=cos(40t), pero creo que ya me "desvié" del camino correcto (¿?)
Partiendo del principio:
$$\begin{align}&F[f(t)](w)= \int_{-\infty}^\infty{f(t)*e^{-iwt}dt}\end{align}$$He llegado a:
$$\begin{align}&\int_{-\infty}^\infty{\cos(40t)*\cos(40t) dt -i}{\int}_{-\infty}^\infty {\cos(40t)*sen(40t) dt}\end{align}$$¿Alguien me podría confirmar si voy bien?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Angel!
Debes ir mal porque ya has perdido la w que es la variable de la función transformada.
Para hacer la integral o lo pasas todo o notación compleja exponencial o a notación compleja binomial.
Es decir, pasas
$$\begin{align}&e^{-iwt}= \cos(-wt)+i·sen(-wt)= \cos(wt)-isen(wt)\\&\\&\text{O pasas }\cos(40t) \text{ a exponencial}\\&\text{Sabiendo que}\\&e^{bi}=cosb+i·sen\,b\\&e^{-bi}=\cos(-b)+i·sen(-b)=cosb-i·senb\\&\\&\text{Si las sumas tienes}\\&\\&e^{bi}+e^{-bi}=2cosb\\&\\&cosb = \frac{e^{bi}-e^{-bi}}{2}\\&\\&\text{con lo cual}\\&\\&F[f(t)](w)=\int_{-\infty}^{\infty}\cos(40t)e^{-iwt}dt =\\&\\&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{40t·i}-e^{-40t·i}}{2}e^{-iwt}dt=\\&\\&\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-i(w-40)t}-e^{-i(w+40)t} \right)dt=\\&\\&\text{Y esto yo no lo he estudiado pero la teoría te dice que es}\\&\\&=\frac 12 2\pi\bigg(\delta(w-40) +\delta(w+40)\bigg)=\\&\\&\pi\bigg(\delta(w-40) +\delta(w+40)\bigg)\end{align}$$Y eso es todo, no puedo ayudarte mucho más en este tema.
Saludos.
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